Mặt tròn xoay

Mặt tạo bởi quay một phần của đường cong x = 2 + cos z xung quanh trục z.

Một mặt tròn xoay là một bề mặt trong không gian Euclid tạo bằng cách quay một đường cong (đường sinh) xung quanh một trục cố định.

Ví dụ các mặt tròn xoay tạo từ một đường thẳng bao gồm hình trụ tròn và mặt nón phụ thuộc vào đường thẳng đó có song song với trục quay hay không. Khi quay một đường tròn xung quanh một đường kính của nó thu được một mặt cầu mà đường tròn chính là đường tròn lớn của nó, và nếu quay đường tròn xung quanh một trục nằm bên ngoài nó thì sẽ thu được mặt xuyến không tự cắt chính nó (hay còn gọi là vòng xuyến).

Các tính chất

Giao tuyến của mặt phẳng đi qua trục quay của mặt tròn xoay gọi là tiết diện kinh tuyến (meridional sections). Bất kỳ tiết diện kinh tuyến nào cũng được coi là phần tử sinh trong mặt phẳng xác định bởi tiết diện và trục quay.

Giao tuyến của mặt phẳng vuông góc với trục quay và mặt tròn xoay là các đường tròn.

Một số trường hợp đặc biệt như hypeboloit (hyperboloid) (một phần hay hai phần) và elip paraboloit (elliptic paraboloid) là những mặt tròn xoay. Đây là những mặt bậc hai mà tiết diện vuông góc với trục quay là đường tròn.

Công thức tính diện tích

Quay một đường cong xung quanh một trục cho ra mặt tròn xoay.

Nếu một đường cong xác định bằng phương trình tham số x(t), y(t), với t xác định trên đoạn [a,b], và trục tròn xoay là trục y, thì diện tích của mặt A_y xác định bằng tích phân

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,$

cho thấy x(t) luôn không âm giữa hai điểm a and b. Công thức này có dạng tương đương với định lý trọng tâm Pappus (Pappus's centroid theorem). Đại lượng

${\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}$

xuất phát từ định lý Pythagore và đại diện cho một đoạn nhỏ của cung của đường cong, giống như trong công thức độ dài cung. Đại lượng 2πx(t) là quỹ đạo của trọng tâm của đoạn nhỏ này, như đòi hỏi bởi định lý Pappus.

Tương tự, khi trục quay là trục x và cho thấy hàm y(t) luôn không âm, diện tích mặt tròn xoay được tính bằng

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.$

Nếu đường cong được miêu tả bằng hàm y = f(x), a ≤ x ≤ b, thì tích phân trở thành

$A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx$

đối với trục xoay là trục x và

$A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dx}{dy}}\right)^{2}}}\,dy$

đối với trục xoay là trục y (sử dụng a ≤ y ≤ b). Các công thức này được rút ra từ công thức ở trên.

Ví dụ, mặt cầu bán kính đơn vị có đường sinh là đường cong xác định bởi tham số y(t) = sin(t), x(t) = cos(t), khi t thuộc đoạn [0,π]. Diện tích bề mặt của nó bằng

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}$

Đối với trường hợp mặt cầu bán kính r, phương trình đường cong y(x) = √r² − x² quay xung quanh trục x

${\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&{}=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&{}=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}$

Mặt tròn xoay cực tiểu là mặt tròn xoay của đường cong đi qua hai điểm cho trước mà diện tích bề mặt của nó là cực tiểu. Một vấn đề cơ bản trong phép tính biến phân đó là tìm đường cong giữa hai điểm cho trước mà tạo ra mặt tròn xoay cực tiểu.

Chỉ tồn tại có hai mặt tròn xoay cực tiểu đó là mặt phẳng và mặt catinoit (catenoid, mặt có đường sinh là đường dây xích (catenary)).

Xem thêm

• Mặt kênh (Channel surface, một dạng tổng quát hóa của mặt tròn xoay)
• Sừng Gabriel
• Mặt Liouville, một mặt tổng quát hóa khác của mặt tròn xoay
• Khối tròn xoay
• Tích phân mặt
• Helicoit tổng quát (Generalized helicoid)

Liên kết ngoài

• Weisstein, Eric W., "Surface of Revolution" từ MathWorld.
• “Surface de révolution”. Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (bằng tiếng Pháp).Quản lý CS1: ngôn ngữ không rõ (liên kết)