Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Đa tạp Riemann”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 20:29, ngày 16 tháng 8 năm 2020

Trong hình học vi phân, một đa tạp Riemann hoặc không gian Riemann (M, g) là một đa tạp thực trơn M được trang bị với một tích vô hướng g_p xác định dương trên không gian tiếp tuyến T_pM tại mỗi điểm p. Theo qui ước, g là một tích vô hướng trơn. Tức là với mọi bản đồ trơn (U, x) trên M, n² hàm

g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R}

là các hàm trơn. Tương tự, ta có thể xét các mêtric Riemann Lipschitz hoặc các mêtric Riemann đo được, vân vân.

Họ các tích vô hướng g_p nói trên được gọi là mêtríc Riemann (hay tenxơ mêtric Riemann). Những thuật ngữ này được đặt theo tên nhà toán học người Đức Bernhard Riemann. Ngành nghiên cứu về các đa tạp Riemann được gọi là hình học Riemann.

Một một (tenxơ) mêtríc Riemann cho phép định nghĩa một số khái niệm hình học trên các đa tạp Riemann, chẳng hạn như góc tại một giao điểm, chiều dài đường cong, diện tích bề mặt và các đại lương chiều cao tương ứng (thể tích, v.v.), độ cong ngoại biên của các đa tạp con, và độ cong nội tại của chính đa tạp lớn.

Định nghĩa

Một đa tạp Riemann $M$ là một đa tạp trơn với một 2-ten-xơ $g\in T^{*}M\otimes T^{*}M$ sao cho

$g$ đối xứng, tức là $\forall X,Y\in T_{p}M:g(p)(X,Y)=g(p)(Y,X)$
$g$ xác định dương, tức là $\forall X\in T_{p}M-\{0\}:g(p)(X,X)>0$ ^[1].

Ví dụ

Đường tròn $\mathbb {S} ^{1}$ cùng với ten-xơ $d\theta \otimes d\theta$ (thường được ký hiệu là $d\theta ^{2}$ ) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng $1$ .

Độ dài cung

Với mọi cung (khả vi) $\gamma :[a,b]\to M$ , ta định nghĩa độ dài của cung $\gamma$ là giá trị $L(\gamma )=\int _{a}^{b}g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))dt$ . Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa $\gamma$ .^[2]

Khoảng cách

Nếu $M$ là một đa tạp Riemann liên thông (và do đó liên thông cung do $M$ là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm $p,q\in M$ như là infimum của các độ dài cung nối $p$ và $q$ .^[3] Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với $M$ .^[4]

Xem thêm

HÌnh học Riemann
Đa tạp Finsler
Ten-xơ metric

Ghi chú

^ Lee (1997), tr. 23
^ Lee (1997), tr. 92, Length of Curves
^ Lee (1997), tr. 94, The Riemannian Distance Function
^ Lee (1997), tr. 94, Lemma 6.2

Tham khảo

Lee, John, 1997, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer, ISBN 0-387-98271-X

Liên kết ngoài

L.A. Sidorov (2001), “Riemannian metric”, trong Hazewinkel, Michiel (biên tập), Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

[1] Lee (1997), tr. 23

[2] Lee (1997), tr. 92, Length of Curves

[3] Lee (1997), tr. 94, The Riemannian Distance Function

[4] Lee (1997), tr. 94, Lemma 6.2

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Dòng 18: / Dòng 18: @@
 * Đường tròn <math>\mathbb{S}^1</math> cùng với ten-xơ <math>d\theta\otimes d\theta</math> (thường được ký hiệu là <math>d\theta^2</math>) là một đa tạp Riemann. Nó là đường tròn có bán kính bằng <math>1</math>.
+== Độ dài cung ==
+Với mọi cung (khả vi) <math>\gamma:[a,b]\to M</math>, ta định nghĩa ''độ dài'' của cung <math>\gamma</math> là giá trị <math>L(\gamma)=\int_a^b g(\dot{\gamma}(t),\dot{\gamma}(t))dt</math>. Giá trị này độc lập với cách ta tham số hóa <math>\gamma</math>.<ref>Lee (1997), tr. 92, ''Length of Curves''</ref>
+== Khoảng cách ==
+Nếu <math>M</math> là một đa tạp Riemann [[Tập hợp liên thông|liên thông]] (và do đó liên thông cung do <math>M</math> là không gian Euclid địa phương), ta có thể định nghĩa khoảng cách Riemann giữa hai điểm <math>p,q\in M</math> như là [[Infimum và supremum|infimum]] của các độ dài cung nối <math>p</math> và <math>q</math>.<ref>Lee (1997), tr. 94, ''The Riemannian Distance Function''</ref> Không gian metric cảm sinh có chung tô pô với <math>M</math>.<ref>Lee (1997), tr. 94, Lemma 6.2</ref>
 == Xem thêm ==