Tác động nhóm

Cho một tam giác đều , phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc 120° quanh tâm của tam giác sẽ ánh xạ mọi đỉnh của tam giác với một đỉnh khác. Nhóm tuần hoàn C₃ bao gồm các phép quay 0°, 120° và 240° tác động lên tập hợp ba đỉnh.

Trong toán học, một tác động nhóm trên một không gian là phép đồng cấu nhóm của một nhóm thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác động nhóm trên một cấu trúc toán học là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào nhóm tự đồng cấu của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó tác động lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác động lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác động lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các đối xứng của một khối đa diện tác động lên các đỉnh, các cạnh và các mặt của khối đa diện đó.

Tác động nhóm trên không gian vectơ (hữu hạn chiều) được gọi là biểu diễn nhóm. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của GL(n, K), nhóm các ma trận khả nghịch bậc n trên trường K.

Định nghĩa

Tác động trái

Nếu G là một nhóm với phần tử đơn vị e và X là một tập hợp, thì một tác động trái của nhóm α của G trên X là một hàm

$\alpha \colon G\times X\to X,$

(với α(g, x) thường được rút ngắn thành gx hoặc g ⋅ x khi tác động đang được xem xét đã được biết trước)

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	$e\cdot x=x$
Tính tương thích:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X

Nhóm G được gọi là tác động lên tập X (từ trái qua). Tập hợp X cùng với một tác động của G được gọi là tập G (bên trái).

Từ hai tiên đề này, dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ g cố định trong G, hàm từ X vào chính nó là ánh xạ x tới g ⋅ x là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho g⁻¹ .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác động nhóm của G trên X như một phép đồng cấu nhóm từ G thành nhóm đối xứng Sym(X) của tất cả các song ánh từ X với chính nó.

Tác động phải

Tương tự như vậy, tác động phải của nhóm G tác động lên tập X là một hàm

$\alpha \colon X\times G\to X,$

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	$x\cdot e=x$
Tính tương thích:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (g\cdot h)$

với mọi g và h thuộc G và mọi x thuộc X.