Định lý Ceva

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
(đổi hướng từ Định lí Ceva)
Bước tới: menu, tìm kiếm
Tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678

Định lí Cave là một định lí phổ biến trong hình học cơ bản.Cho một tam giác ABC, các điểm D, E, và F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, và AB. Định lí phát biểu rằng các đường thẳng AD, BECF là những đường thẳng đồng qui khi và chỉ khi:

Ngoài ra, định lí Cave còn được phát biểu một cách tương đương trong lượng giác rằng: AD,BE,CF đồng qui khi và chỉ khi
.

Định lí được chứng minh lần đầu tiên bởi Giovanni cave trong tác phẩm De lineis rectis viết năm 1678 của Ông.

Một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác gọi là đường thẳng Cevian ứng với đỉnh đó.

Một trong hình vẽ tam giác là một tam giác Cevian của tam giác ABC.

Chứng minh định lí[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử ta có: , đồng qui tại một điểm nào đó (trong hay ngoài tam giác). Do có chung chiều cao (độ dài của đường cao), ta có:

Tương tự,

Ta suy ra

Tương tự,

Nhân ba đẳng thức trên cho ta:

(điều phải chứng minh).

Ngược lại, giả sử rằng ta đã có những điểm , thỏa mãn đẳng thức. Gọi giao điểm của , và gọi giao điểm của . Theo chứng minh trên,

Kết hợp với đẳng thức trên, ta nhận được:

Thêm 1 vào mỗi vế và chú ý rằng , ta có

Do đó , vậy trùng nhau. Vì vậy , = đồng qui tại , và định lí đã được chứng minh (là đúng theo cả hai chiều).

Tham khảo thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Russell, John Wellesley (1905). “Ch. 1 §7 Ceva's Theorem”. Pure Geometry. Clarendon Press. 
  • Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1995). “Ceva, Menelaus and the Area Principle”. Mathematics Magazine 68 (4): 254–268. doi:10.2307/2690569. JSTOR 2690569Bản mẫu:Inconsistent citations .
  • Hogendijk, J. B. (1995). “Al-Mutaman ibn Hűd, 11the century king of Saragossa and brilliant mathematician”. Historia Mathematica 22: 1–18. doi:10.1006/hmat.1995.1001. 
  • Landy, Steven (tháng 12 năm 1988). “A Generalization of Ceva's Theorem to Higher Dimensions”. The American Mathematical Monthly 95 (10): 936–939. doi:10.2307/2322390. 
  • Masal'tsev, L. A. (1994). “Incidence theorems in spaces of constant curvature”. Journal of Mathematical Sciences 72 (4): 3201–3206. doi:10.1007/BF01249519. 
  • Wernicke, Paul (tháng 11 năm 1927). “The Theorems of Ceva and Menelaus and Their Extension”. The American Mathematical Monthly 34 (9): 468–472. doi:10.2307/2300222.