Định lý Cauchy (lý thuyết nhóm)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Giới thiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Định lí Cauchy là một định lí trong lý thuyết nhóm được đặt tên theo tên của nhà toán học người Pháp Augustin Louis Cauchy. Định lí này phát biểu rằng nếu là một nhóm hữu hạn và là một số nguyên tố chia hết cấp của (số phần tử trong ) thì trong tồn tại một phần tử có cấp . Tức là trong tồn tại phần tử sao cho là số nguyên dương nhỏ nhất để , với là phần tử đơn vị.

Định lí này liên quan đến định lý Lagrange, phát biểu rằng cấp của một nhóm con bất kỳ của một nhóm hữu hạn cho trước đều chia hết cấp của . Định lí Cauchy chứng tỏ rằng với mọi ước nguyên tố của cấp của , tồn tại một nhóm con cyclic của có cấp được sinh bởi phần tử đã được nói tới trong định lí Cauchy.

Tổng quát hơn định lí Cauchy là định lí Sylow thứ nhất, phát biểu rằng: nếu là một nhóm hữu hạn và là ước của cấp của với nguyên tố thì có một nhóm con cấp .

Phát biểu và chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Định lí: Cho là một nhóm hữu hạn và là một số nguyên tố. Nếu chia hết cấp cũng thì trong tồn tại một phần tử có cấp .

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo với và xét 2 trường hợp giao hoán và không giao hoán.

  • G giao hoán:
Nếu là nhóm đơn, tức là chỉ có 2 nhóm con là và chính nó thì nhóm này phải là nhóm cyclic cấp nguyên tố và dĩ nhiên sẽ tồn tại một phần tử có cấp p.
Nếu không là nhóm đơn thì tồn tại một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường H trong G. Nếu chia hết thì theo giả thiết quy nạp, trong tồn tại một phần tử cấp p và do đó, trong cũng tồn tại một phần tử cấp p. Ngược lại, theo định lý Lagrange, phải chia hết chỉ số , khi đó, theo giả thiết quy nạp, trong nhóm thương sẽ tồn tại một phần tử có cấp . Và do đó, trong tồn tại một phần tử thỏa . Khi đó, tồn tại một phần tử trong sao cho . Dễ thấy với mọi phần tử trong , tồn tại phần tử trong sao cho nên tồn tại một phần tử trong sao cho . Do đó, có cấp là và kết thúc chứng minh cho trường hợp abel.
  • không giao hoán: trong tập hợp này,tâm là một nhóm con không tầm thường của .
Nếu chia hết cấp của tâm hóa tử với là một phần tử nào đó không thuộc thì là một nhóm con không tầm thường và do đó, theo giả thiết quy nạp, trong tồn tại một phần tử có cấp .
Ngược lại, nếu chia hết cấp của thì khi đó, chia hết chỉ số với là một phần tử nào đó không thuộc . Từ ta có p chia hết cấp của và do đó, tâm chứa một phần tử có cấp và do đó, chứa một phần tử có cấp . Kết thúc chứng minh.

Hệ quả[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu là một nhóm hữu hạn (không nhất thiết giao hoán) thỏa tính chất mọi phần tử khác trong đều có cấp là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì có cấp là một là lũy thừa của một số nguyên tố cho trước thì có cấp là một lũy thừa của

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]