Định lý Menelaus

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, được phát biểu như sau: Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ba điểm có một số chẵn điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi

.

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

*Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Vì CG//AB (c.dựng) nên theo định lý Ta-lét, ta có:
(1) và (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế

Từ đó suy ra

*Phần đảo: Giả sử . Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên, ta có
Kết hợp giả thuyết suy ra
Hay
Nên F'A = FA và F'B = FB
Do đó F' trùng với F.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66–67, 1967.
  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
  • Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147–154, 1995.
  • Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42–44, 1928.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.