Định lý Menelaus

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Định lý Menelaus

Định lý Menelaus là một định lý cơ bản trong hình học tam giác, nội dung như sau: Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB. Khi đó định lý phát biểu rằng D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi \frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Phần thuận: Giả sử D, E, F thẳng hàng với nhau. Vẽ đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng DE tại G.
Theo định lý talet ta có
\frac{DB}{DC} = \frac{FB}{CG} (1) và \frac{EC}{EA} = \frac{CG}{FA} (2)
Nhân (1) và (2) vế theo vế
\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = \frac{FB}{FA}
Từ đó suy ra
\frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}=1
Phần đảo: Giả sử \frac{FA}{FB}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1. Khi đó gọi F' là giao của đường thẳng ED với đường thẳng AB.
Theo chứng minh ở trên ta có \frac{F'A}{F'B}\cdot \frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA} = 1
Kết hợp giả thuyết suy ra \frac{FA}{FB} = \frac{F'A}{F'B}
Hay \frac{FA}{F'A} = \frac{FB}{F'B} = \frac{FA + FB}{F'A + F'B} = \frac{AB}{AB} = 1
Nên F'A = FA và F'B = FB
Do đó F' trùng với F.
Vậy định lý đã được chứng minh.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. "Menelaus's Theorem." §3.4 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 66-67, 1967.
  • Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 122, 1987.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Grünbaum, B. and Shepard, G. C. "Ceva, Menelaus, and the Area Principle." Math. Mag. 68, 254-268, 1995.
  • Honsberger, R. "The Theorem of Menelaus." Ch. 13 in Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 147-154, 1995.
  • Durell, C. V. Modern Geometry: The Straight Line and Circle. London: Macmillan, pp. 42-44, 1928.
  • Graustein, W. C. Introduction to Higher Geometry. New York: Macmillan, p. 81, 1930.
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, p. 150, 1991.