Bổ đề Bézout

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Jump to navigation Jump to search

Trong lý thuyết số cơ bản, bổ đề Bézout được phát biểu thành định lý sau:

Nếu ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm thì:

  • Tồn tại hai số nguyên sao cho ,
  • là số nguyên dương nhỏ nhất có thể viết dưới dạng
  • Mỗi số có dạng đều là bội của .

Hai số được gọi là hệ số Bézout của cặp . Cặp không phải là duy nhất. Có thể dùng giải thuật Euclid mở rộng để xác định giá trị của cặp . Nếu đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp sao cho (đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại).

Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như bổ đề Euclid hoặc định lý số dư Trung Hoa.

Tập xác định trong miền tích phân mà bổ đề Bézout chiếm giữ được gọi là miền Bézout. Đặc biệt, bổ đề Bézout nằm trong miền lý tưởng cơ bản. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các miền đó.

Dạng của đáp án[sửa | sửa mã nguồn]

Với một cặp hệ số Bézout được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng

với k là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.

Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa

và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi a hoặc b là bội số của số còn lại.

Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên cd, nếu c không chia hết cho d thì có chính xác một cặp sao cho , và một cặp khác sao cho .[cần dẫn nguồn]

Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn k trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia x cho .[cần dẫn nguồn]

Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Cho a = 12, b = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai số nguyên ab, đặt . Tập S chứa các số nguyên dương và cũng chứa ±a±b. Cho là số nguyên dương nhỏ nhất trong S. Để chứng minh rằng d là ước chung lớn nhất của ab, ta chỉ cần chứng minh rằng d là một ước số chung của ab, bởi vì tất cả phần tử trong S bao gồm cả d là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của ab đều được chia hết bởi , do đó không thể lớn hơn d.

Phép chia có dư của a cho d có thể ký hiệu

.

Số dư r nằm trong tập S do

Khi d là số nguyên dương nhỏ nhất trong S thì phần dư r cần phải bằng 0, suy ra d là một ước của a. Tương tự d cũng là một ước số của b, ta có điều cần chứng minh.

Tổng quát[sửa | sửa mã nguồn]

Với nhiều hơn hai số nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu

thì có các số nguyên sao cho

trong đó:

  • d là số nguyên dương nhỏ nhất có dạng này
  • mỗi số nguyên có dạng này là một bội số của d

Với đa thức[sửa | sửa mã nguồn]

Với tập xác định lý tưởng cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Nhà toán học người Pháp Étienne Bézout (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức.[1] Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).[2][3][4]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Bézout, É. (1779). Théorie générale des équations algébriques. Paris, France: Ph.-D. Pierres. 
  2. ^ Tignol, Jean-Pierre (2001). Lý thuyết Galois về phương trình đại số. Singapore: World Scientific. ISBN 981-02-4541-6. 
  3. ^ Claude Gaspard Bachet (sieur de Méziriac) (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (ấn bản 2). Lyons, France: Pierre Rigaud & Associates. tr. 18–33.  Trong bài báo này, Bachet chứng minh (không có công thức) "Proposition XVIII. Deux nombres premiers entre eux estant donnez, treuver le moindre multiple de chascun d’iceux, surpassant de l’unité un multiple de l’autre." (Cho hai số nguyên tố cùng nhau, tìm bội nhỏ nhất của từng số nhân với một số mà hiệu của 2 bội này bằng 1. Bài toán này (a*x - b*y = 1) là trường hợp đặc biệt của phương trình Bézout và được Bachet dùng để chứng minh các bài toán trong trang 199 ff.
  4. ^ Xem thêm: Maarten Bullynck (tháng 2 năm 2009). “Số học mô đun trước C.F. Gauss: Hệ thống hóa và thảo luận về các bài toán phần dư trong thế kỷ thứ 18 ở Đức” (PDF). Historia Mathematica 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]