Các bài toán thiên niên kỷ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Các bài toán thiên niên kỷ (tiếng Anh: Millennium Prize Problems) là bảy bài toán nổi tiếng và phức tạp, được lựa chọn bởi Viện Toán học Clay vào ngày 24 tháng 5 năm 2000. Viện này cũng đồng thời treo phần thưởng trị giá một triệu đô cho bất cứ ai có được lời giải chính xác cho mỗi bài toán trong danh sách này.

Tính tới nay, chỉ có duy nhất một bài toán trong danh sách này mới được giải, đó là giả thuyết Poincaré bởi nhà toán học người Nga Grigori Yakovlevich Perelman vào năm 2010, tuy nhiên ông đã từ chối nhận giải thưởng từ viện Clay do người cộng sự đắc lực của ông - Richard Streit Hamilton không được chia thưởng hoặc đồng vinh danh.

Sáu bài toán còn lại vẫn chưa được giải là:

Những bài toán đã được giải[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết Poincaré[sửa | sửa mã nguồn]

Trong không gian 2 chiều, mặt cầu là mặt phẳng đóng và đơn liên duy nhất. Giả thuyết Poincaré nói rằng điều này cũng đúng trong không gian 3 chiều. Đây là bài toán trọng điểm để giải quyết vấn đề tổng quát hơn trong việc phân loại mọi đa tạp 3 chiều. Giả thuyết được phát biểu chặt chẽ hơn như sau:

Mọi đa tạp 3 chiều đóng đơn liên thì đồng phôi với mặt cầu 3 chiều.

Chứng minh cho giả thuyết này được đưa ra bởi Grigori Perelman. Lời giải của ông dựa trên lý thuyết dòng Ricci của Richard Hamilton. Tuy nhiên, lời giải này chủ yếu nhờ vào sự cải tiến độc đáo của Perelman, đồng thời tận dụng nhiều kết quả về không gian metric của Cheeger, Gromov và của chính ông. Ngoài ra, Perelman còn chứng minh luôn cả giả thuyết hình học hoá của William Thurston (một trường hợp đặc biệt của giả thuyết Poincaré), đây là mảnh ghép vô cùng quan trọng để chứng minh giả thuyết Poincaré. Lời giải được công nhận vào tháng 8 năm 2006 và Perelman chính thức được trao giải bài toán thiên niên kỷ vào ngày 18 tháng 3 năm 2010. Nhưng ông đã từ chối nhận thưởng và mọi số tiền liên quan đến giải thưởng đó, điều mà ông cũng đã từng làm với giải Fields. Theo như The Interfax đưa tin, Perelman cho rằng giải thưởng không hề công bằng, vì những đóng góp của ông cũng chẳng hơn gì so với đóng góp của Hamilton.

Những bài toán chưa có lời giải[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết Birch và Swinnerton[sửa | sửa mã nguồn]

Giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer quan tâm đến một số loại phương trình, cụ thể là những phương trình định nghĩa lên đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ. Giả thuyết nói rằng có một cách đơn giản để xác định xem phương trình đó có hữu hạn hay vô hạn nghiệm hữu tỉ. Bài toán thứ mười của Hilbert quan tâm đến những loại phương trình tổng quát hơn, và trong trường hợp tổng quát đó thì người ta đã chứng minh được rằng không có bất kì cách nào để xác định xem với phương trình được cho thì nó có nghiệm hay không.

Andrew Wiles là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán.

Giả thuyết Hodge[sửa | sửa mã nguồn]

Bài toán Navier-Stokes[sửa | sửa mã nguồn]

Phương trình Navier-Stokes là phương trình giúp ta mô tả chuyển động của chất lưu, là một trong những công cụ trụ cột trong cơ học chất lưu, có ảnh hưởng rất lớn đến với khoa học kỹ thuật trong thực tiễn. Tuy nhiên về mặt lý thuyết thì những hiểu biết của ta đối với nghiệm của phương trình này là chưa hoàn thiện. Cụ thể, đặt phương trình trong không gian 3 chiều và cho hệ một số điều kiện ban đầu, các nhà toán học đến nay vẫn chưa chứng minh được liệu hệ có luôn tồn tại nghiệm trơn hay không.

Phát biểu chính thức cho bài toán được đặt ra bởi Charles Fefferman.

P so với NP[sửa | sửa mã nguồn]

Biểu đồ Euler cho lớp các bài toán P, NP, NP-completeNP-hard.

Câu hỏi được đặt ra rằng liệu đúng hay không, với mọi bài toán kèm theo thuật toán có thể kiểm tra tính đúng đắn của nghiệm bài toán đó một cách nhanh chóng (tức trong thời gian đa thức) thì cũng sẽ tồn tại một thuật toán có thể tìm ra nghiệm của bài toán một cách nhanh chóng. Lớp các bài toán ở vế đầu và vế sau được đặt lần lượt là NP và P, nên ta có thể phát biểu bài toán một cách ngắn gọn hơn đó là liệu có phải mọi bài toán thuộc lớp NP cũng đều thuộc lớp P không. Đây được coi là một trong những câu hỏi mở quan trọng nhất trong toán họckhoa học máy tính vì nó ảnh hưởng trực tiếp đến nhiều vấn đề trong các lĩnh vực khác như sinh học, triết họcmật mã. Bài toán SAT là một ví dụ điển hình cho bài toán thuộc lớp NP nhưng vẫn chưa biết liệu nó có thuộc lớp P hay không.

Hầu hết các nhà toán học và nhà khoa học máy tính tin rằng P ≠ NP. Tuy nhiên điều này vẫn chưa được chứng minh.

Stephen Cook là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này.

Giả thuyết Riemann[sửa | sửa mã nguồn]

Phần thực (màu đỏ) và phần ảo (màu xanh) của hàm zeta Riemann kèm với đường tới hạn Re(s) = 1/2. Nghiệm không tầm thường đầu tiên zeros có thể thấy tại điểm Im(s) = ±14.135, ±21.022 và ±25.011.

Hàm zeta Riemann ζ(s) được xác định bởi

là hàm biến phức một số. Thác triển giải tích của nó có nghiệm tại các số nguyên âm chẵn, nói cách khác thì ζ(s) = 0 khi s bằng -2, -4, -6,.... Những nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường. Tuy nhiên đấy không phải là toàn bộ nghiệm của hàm zeta, những nghiệm khác được gọi là nghiệm không tầm thường. Giả thuyết Riemann quan tâm đến vị trí của những nghiệm không tầm thường này, cụ thể giả thuyết nói rằng:

Mọi nghiệm không tầm thường của hàm zeta Riemann đều có phần thực là 1/2.

Bất kì chứng minh nào về tính đúng sai của giả thuyết cũng đều sẽ ảnh hưởng sâu sắc đến lý thuyết số, đặc biệt là về sự phân phối của số nguyên tố. Đây là bài toán thứ tám của Hilbert, và đến nay nó vẫn được coi là bài toán còn bỏ ngỏ quan trọng nhất của thế kỷ.

Enrico Bombieri là người đã đưa ra mệnh đề chính thức cho bài toán này.

Bài toán Yang-Mills[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]