Chuỗi hội tụ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, một chuỗi là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn.

Cho một dãy vô hạn tổng thành phần thứ n của nó Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của chuỗi. Tức là,

Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng thành phần của nó hội tụ đến một giới hạn; điều đó có nghĩa là các tổng thành phần dần dần tiến gần hơn và gần hơn đến một số xác định.

Chính xác hơn, một chuỗi là hội tụ, nếu tồn tại một số xác định sao cho với mỗi số dương nhỏ tùy ý , tồn tại một số nguyên (đủ lớn) , sao cho với mọi ,

Nếu chuỗi hội tụ, số (nhất thiết phải là duy nhất) được gọi là tổng của chuỗi.

Bất kỳ chuỗi nào không hội tụ được gọi là phân kỳ.

Ví dụ về chuỗi hội tụ và phân kỳ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi phân kỳ (cũng được gọi là chuỗi điều hòa):
  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của các số nguyên dương là một chuỗi hội tụ (chuỗi điều hòa đan dấu):
  • Chuỗi nghịch đảo của các số nguyên tố là một chuỗi phân kỳ:
  • Chuỗi nghịch đảo của các số tam giác là một chuỗi hội tụ:
  • Chuỗi nghịch đảo của các giai thừa là một chuỗi hội tụ (xem e):
  • Chuỗi nghịch đảo của các số chính phương là một chuỗi hội tụ (bài toán Basel):
  • Chuỗi nghịch đảo của các lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
  • Chuỗi nghịch đảo các lũy thừa cơ số n là một chuỗi hội tụ:
  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số 2 là một chuỗi hội tụ:
  • Chuỗi đan dấu các nghịch đảo của lũy thừa cơ số n là một chuội hội tụ:
  • Chuỗi nghịch đảo của các số Fibonacci là một chuỗi hội tụ (xem ψ):

Các tiêu chuẩn hội tụ[sửa | sửa mã nguồn]

Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ.

Nếu chuỗi màu xanh, là hội tụ thì chuỗi nhỏ hơn cũng là hội tụ. Nếu chuỗi màu đỏ là phân kỳ, thì chuỗi lớn hơn cũng là phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,

với mọi n, hội tụ, thế thì hội tụ.

Nếu,

với mọi n, phân kỳ, thế thì phân kỳ.

Tiêu chuẩn D'Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi n, khác 0. Giả sử tồn tại sao cho

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định r như sau:

Nếu r <1, thì chuỗi hội tụ. Nếu r > 1, thì chuỗi phân kỳ. Nếu r = 1, tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.

Tiêu chuẩn tích phân Cauchy.Giả sử với là một hàm số dương đơn điệu giảm. Nếu

thì chuỗi hội tụ. Nếu tích phân phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.

Tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Nếu và giới hạn tồn tại và khác không, thì hội tụ khi và chỉ khi hội tụ.

Tiêu chuẩn Leibniz. Với một chuỗi đan dấu , nếu giảm đơn điệu và có giới hạn bằng 0 ở vô cực thì chuỗi hội tụ.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]