Dạng toàn phương

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, một dạng toàn phương là một đa thức với các số hạng có bậc bằng hai. Ví dụ,

là một dạng toàn phương với các biến xy. Các hệ số thường thuộc một trường K cố định, chẳng hạn như số thực hoặc số phức.

Các dạng toàn phương chiếm vị trí trung tâm trong nhiều nhánh toán học khác nhau, bao gồm lý thuyết số, đại số tuyến tính, lý thuyết nhóm (nhóm trực giao), hình học vi phân (metric Riemann, dạng cơ bản thứ hai), tô pô vi phân (dạng giao của 4-đa-tạp) và lý thuyết Lie (dạng Killing).

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Một dạng toàn phương trên một trường K là một ánh xạ từ một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K vào K sao cho tồn tại một dạng song tuyến tính thỏa mãn

  • [1]

Hệ quả: với mọi , .

Cụ thể hơn, ta có một biểu diễn dưới dạng đa thức:

Sử dụng ma trận A = (aij), ta có thể viết lại công thức trên dưới dạng

Nếu đặc số của trường K khác 2

  • Ma trận hệ số A của q có thể được thay thế bằng ma trận đối xứng (A + AT)/2.
  • Dạng song tuyến tính có thể được tính theo : [1]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), tr. 234

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Cassels, J.W.S. (1978). Rational Quadratic Forms. London Mathematical Society Monographs. 13. Academic Press. ISBN 0-12-163260-1. Zbl 0395.10029.
  • Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Cambridge Tracts in Mathematics. 106. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
  • Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
  • Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016.
  • O'Meara, O.T. (1973). Introduction to quadratic forms. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 117. Springer-Verlag. ISBN 3-540-66564-1. Zbl 0259.10018.
  • Pfister, Albrecht (1995). Quadratic Forms with Applications to Algebraic Geometry and Topology. London Mathematical Society lecture note series. 217. Cambridge University Press. ISBN 0-521-46755-1. Zbl 0847.11014.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]