Giải thuật Euclid mở rộng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Giải thuật Euclid mở rộng sử dụng để giải phương trình vô định nguyên (còn được gọi là phương trình Đi-ô-phăng)

a*x+b*y=c,

trong đó a, b, c là các hệ số nguyên, x, y là các ẩn nhận giá trị nguyên. Điều kiện cần và đủ để phương trình này có nghiệm (nguyên) là UCLN(a, b) là ước của c. Khẳng định này dựa trên một mệnh đề sau:

Trong số học đã biết rằng nếu d=UCLN(a, b) thì tồn tại các số nguyên x, y sao cho
a'*x+b*y = d

Cơ sở lý thuyết của giải thuật[sửa | sửa mã nguồn]

Giải thuật Eclid mở rộng kết hợp quá trình tìm ƯCLN(a, b) trong thuật toán Eclid với việc tìm một cặp số x, y thoả mãn phương trình Đi-ô-phăng. Giả sử cho hai số tự nhiên a, b, ngoài ra a>b>0. Đặt , chia cho được số dư và thương số nguyên . Nếu thì dừng, nếu khác không, chia cho được số dư ,...Vì dãy các là giảm thực sự nên sau hữu hạn bước ta được số dư .

;
;
....;

trong đó số dư cuối cùng khác 0 là . Bài toán đặt ra là tìm x, y sao cho

Để làm điều này, ta tìm x, y theo công thức truy hồi, nghĩa là sẽ tìm

sao cho:
với .

Ta có

, nghĩa là
. (1)

Tổng quát, giả sử có

với .
với .

Khi đó từ

suy ra

từ đó, có thể chọn

(2)
(3)

Khi ta có được . Các công thức (1), (2), (3) là công thức truy hồi để tính x, y.

Giải thuật[sửa | sửa mã nguồn]

{Thuật toán Euclide: a, b không đồng thời bằng 0, trả về gcd(a, b)}
function gcd(a, b);
begin
  while b  0 do
    begin
      r := a mod b; a := b; b := r;
    end;
  Result := a;
end;
{Thuật toán Euclide mở rộng: a, b không đồng thời bằng 0, trả về cặp (x, y) sao cho a * x + b * y = gcd(a, b)
Về tư tưởng là ghép quá trình tính cặp số (x, y) vào trong vòng lặp chính của thuật toán Euclide.}
function Extended_gcd(a, b); 
begin
  (xa, ya) := (1, 0);
  (xb, yb) := (0, 1);
  while b  0 do
    begin
      q := a div b;
      r := a mod b; a := b; b := r; //Đoạn này giống thuật toán Euclide.
      (xr, yr) := (xa, ya) - q * (xb, yb); //Hiểu là: (xr, yr) := (xa, ya) "mod" (xb, yb);
      (xa, ya) := (xb, yb);
      (xb, yb) := (xr, yr);
    end;
  Result := (xa, ya);
end;

Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên a>b>0, biểu diễn bằng giải mã:

 Sub Euclid_Extended(a,b)
 Dim x0, x, y,y1 As Single
    x0=1: x1=0: y0=0: y1=1
 
 While b>0
      r= a mod b 
      if r=0 then Exit While
      q= a / b
      x= x0-x1*q
      y= y0-y1*q
      a=b
      b=r
      x0=x1     
      x1=x
      y0=y1     
      y1=y
 Wend
    Me.Print d:=b, x, y
code
 End Sub

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Với a=29, b=8, giải thuật trải qua các bước như sau

Bước
0 29 8 5 3 1 0 1 0 1 -3
1 8 5 3 1 0 1 -1 1 -3 4
2 5 3 2 1 1 -1 2 -3 4 -7
3 3 2 1 1 -1 2 -3 4 -7 11
4 2 1 0 2

Kết quả thuật toán cho đồng thời , .
Dễ dàng kiểm tra hệ thức

Áp dụng giải thuật Euclid mở rộng tìm số nghịch đảo trong vành [sửa | sửa mã nguồn]

Số nghịch đảo trong vành [sửa | sửa mã nguồn]

Trong lý thuyết số, vành được định nghĩa là vành thương của với quan hệ đồng dư theo modulo m (là quan hệ tương đương) mà các phần tử của nó là các lớp đồng dư theo modulo m (m là số nguyên dương lớn hơn 1). Ta cũng có thể xét chỉ với các đại diện của nó. Khi đó

Phép cộng và nhân trong là phép toán thông thường được rút gọn theo modulo m:


Phần tử a của được gọi là khả nghịch trong hay khả nghịch theo modulo m nếu tồn tại phần tử a' trong sao cho a*a'=1 trong hay . Khi đó a' được gọi là nghịch đảo modulo m của a. Trong lý thuyết số đã chứng minh rằng, số a là khả nghịch theo modulo m khi và chỉ khi ƯCLN của a và m bằng 1.
Khi đó tồn tại các số nguyên x, y sao cho

Đẳng thức này lại chỉ ra y là nghịch đảo của a theo modulo m. Do đó có thể tìm được phần tử nghịch đảo của a theo modulo m nhờ thuật toán Euclid mở rộng khi chia m cho a.

Giải thuật[sửa | sửa mã nguồn]

//a, m > 0. Trả về a^-1 mod m, gcd(a, m) phải bằng 1, chú ý là ta không cần quan tâm y khi giải pt diophante a * x + m * y = 1
function ModuloInverse(a, m);
begin
  xa := 1; xm := 0;
  while m  0 do
    begin
      q := a div m;
      xr := xa - q * xm;
      xa := xm;
      xm := xr;
      r := a mod m;
      a := m;
      m := r;
    end;
  Result := xa;
end;

Giải thuật sau chỉ thực hiện với các số nguyên m>a>0, biểu diễn bằng giã mã:

Procedure Euclid_Extended (a,m)
int,  y0=0,y1:=1;

While a>0 do {
     r:= m mod a 
     if r=0 then Break      
     q:= m div a
     y:= y0-y1*q
     m:=a
     a:=r
     y0:=y1     
     y1:=y
  }
 If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" 
 else Return " Nghịch đảo modulo m của a là y"

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tìm số nghịch đảo (nếu có) của 30 theo môđun 101

Bước i m a r q y0 y1 y
0 101 30 11 3 0 1 -3
1 30 11 8 2 1 -3 7
2 11 8 3 1 -3 7 -10
3 8 3 2 2 7 -10 27
4 3 2 1 1 -10 27 -37
5 2 1 0 . . . .

Kết quả tính toán trong bảng cho ta . Lấy số đối của theo mođun được . Vậy .

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Số nghịch đảo theo môđun được ứng dụng nhiều trong việc giải phương trình đồng dư, trong lý thuyết mật mã.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]