Bước tới nội dung

Hàm Dirichlet

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Trong toán học, hàm Dirichlet[1][2]hàm chỉ thị của tập số hữu tỉ , với khi x là số hữu tỉ và khi x không phải là số hữu tỉ (hay xsố vô tỉ).

Hàm số này được đặt theo tên của nhà toán học Peter Gustav Lejeune Dirichlet.[3] Hàm Dirichlet là phản ví dụ điển hình cho nhiều lý thuyết toán học.

Tính chất

[sửa | sửa mã nguồn]

Công thức tường minh

[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm Dirchlet có thể được biểu diễn dưới dạng hai phép tính giới hạn của một hàm liên tục như sau: với jk là hai số nguyên. Công thức này chỉ ra rằng hàm Dirchlet là hàm Baire loại 2.[4]

Tính liên tục

[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào.

Chứng minh trên cũng giúp ta có một phản ví dụ cho định lý hội tụ đơn điệu không đúng khi xét tích phân Riemann.

Tính tuần hoàn

[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi số thực x và bất cứ số hữu tỉ dương T nào, ta đều dễ dàng có được . Tính chất này khiến hàm Dirichlet là một ví dụ tốt cho hàm tuần hoàn khác hằng nhưng có tập chu kỳ - đồng thời là tập số hữu tỉ, trù mật trong .

Tính khả tích

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Mặc dù bị chặn, nhưng do hàm Dirichlet không liên tục tại bất cứ điểm nào trên nên nó không khả tích Riemann. (Xem thêm độ đo Lebesque)
  • Tuy nhiên, hàm Dirichlet lại khả tích Lebesque trên và tích phân của nó trên bằng 0, do hàm Dirchlet bằng 0 hầu khắp nơi (chỉ trừ tập số hữu tỉ, mà tập số hữu tỉ là tập đếm được nên có độ đo không).

Chú thích

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ Hazewinkel, Michiel biên tập (2001), “Dirichlet-function”, Bách khoa toàn thư Toán học, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  2. ^ Dirichlet Function — from MathWorld
  3. ^ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1829). “Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données”. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 4: 157–169.
  4. ^ Dunham, William (2005). The Calculus Gallery. Princeton University Press. tr. 197. ISBN 0-691-09565-5.