Hàm hypebolic

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Một tia đi qua gốc của hyperbol \scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1 cắt hyperbol tại điểm \scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a), với \scriptstyle a là 2 lần diện tích của hình giới hạn bởi tia và trục \scriptstyle x. Đối với các điểm trên hyperbol nằm dưới trục \scriptstyle x, diện tích được coi bằng âm (xem phiên bản hình động so sánh giữa hàm lượng giác và hàm hyperbol.

Trong toán học, hàm hyperbolic có những tính chất tương tự như các hàm lượng giác thông thường. Những hàm hyperbolic cơ bản gồm sin hyperbolic "sinh", và cosin hyperbolic "cosh", hàm tang hyperbolic "tanh" và những hàm dẫn ra từ chúng, tương ứng như các hàm dẫn xuất trong hàm lượng giác. Hàm hyperbolic ngược là các hàm sin hyperbolic diện tích "arsinh" (hay "asinh" hoặc "arcsinh")[1].

Giống như các điểm (cos t, sin t) nằm trên đường tròn bán kính đơn vị, các điểm (cosh t, sinh t) nằm trên phần bên phải của hyperbol đều. Các hàm Hyperbol xuất hiện nhiều trong các nghiệm của các phương trình vi phân tuyến tính hay gặp, phương trình xác định hình dạng dây xích treo giữa 2 điểm, và phương trình Laplace trong hệ tọa độ Descartes. Ngoài ra chúng còn xuất hiện nhiều trong các vấn đề bao gồm lý thuyết điện từ, sự truyền nhiệt, thủy động lực học, và thuyết tương đối hẹp.

Hàm hyperbolic nhận giá trị thực đối với các tham số thực được gọi là góc hyperbolic. Trong giải tích phức, chúng chính là những hàm mũ hữu tỉ, hay là hàm phân hình (en:meromorphic function).

Các hàm hyperbolic được hai nhà toán học Vincenzo RiccatiJohann Heinrich Lambert độc lập đưa ra vào những năm 1760.[2] Riccati sử dụng kí hiệu Sc.Cc. ([co]sinus circulare) để nói đến các hàm lượng giác Sh.Ch. ([co]sinus hyperbolico) để nói đến các hàm hyperbolic. Lambert là người đã đưa ra các kí hiệu được sử dụng như ngày nay.[3]

Biểu thức của các hàm hyperbolic[sửa | sửa mã nguồn]

sinh, coshtanh
csch, sechcoth

Công thức biểu diễn các hàm hyperbolic:

  • Sin hyperbolic:
\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x}
  • Cos hyperbolic:
\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x}
  • Tang hyperbolic:
\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}
  • Cotang hyperbolic:
\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1}
  • Sec hyperbolic:
\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1}
  • Cosec hyperbolic:
\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1}

Các hàm hyperbolic có thể biểu diễn qua số phức:

  • Sin hyperbolic:
\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!
  • Cos hyperbolic:
\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!
  • Tang hyperbolic:
\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!
  • Cotang hyperbolic:
\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!
  • Sec hyperbolic:
\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!
  • Cosec hyperbolic:
\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!

với iđơn vị ảo định nghĩa là i2 = −1.

Dạng phức trong các định nghĩa trên được dẫn ra từ công thức Euler.

Chú ý rằng, theo định nghĩa, sinh2 x có nghĩa là (sinh x)2, chứ không phải sinh(sinh x); và điều này tương tự cho các hàm hyperbolic khác.

Mối quan hệ giữa các hàm hyperbolic[sửa | sửa mã nguồn]

\sinh(-x) = -\sinh x\,\!
\cosh(-x) =  \cosh x\,\!

Từ đó:

\tanh(-x) = -\tanh x\,\!
\coth(-x) = -\coth x\,\!
\operatorname{sech}(-x) =  \operatorname{sech}\, x\,\!
\operatorname{csch}(-x) = -\operatorname{csch}\, x\,\!

Theo quan hệ trên dễ thấy cosh x và sech x là các hàm chẵn; còn lại là các hàm lẻ.

\operatorname{arsech}\,x=\operatorname{arcosh} \frac{1}{x}
\operatorname{arcsch}\,x=\operatorname{arsinh} \frac{1}{x}
\operatorname{arcoth}\,x=\operatorname{artanh} \frac{1}{x}

Sin hyperbolic và cos hyperbolic thỏa mãn đẳng thức

\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,

tương tự như công thức lượng giác Pythagore: \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!. Do vậy ta cũng có:

\tanh ^{2}x=1-\operatorname{sech}^{2}x
\coth ^{2}x=1+\operatorname{csch}^{2}x

Tang hyperbolic là nghiệm của bài toán giá trị biên phi tuyến[4]:

\frac 1 2 f'' = f^3 - f \qquad ; \qquad f(0) = f'(\infty) = 0

Người ta đã chứng minh rằng diện tích giới hạn bởi cung cosh x luôn luôn bằng chiều dài của cung đó:[5]

\text{dien tich} = \int_a^b{ \cosh{x} } \ dx= \int_a^b\sqrt{1+\left(\frac{d}{dx} \cosh{x}\right)^2} \ dx = \text{do dai cung}.

Hàm hyperbolic ngược[sửa | sửa mã nguồn]

\operatorname {arsinh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)
\operatorname {arcosh} \, x=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right);x\ge 1
\operatorname {artanh} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{1+x}{1-x} ;\left| x \right|<1
\operatorname {arsech} \, x=\ln  \frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x} ;0<x\le 1
\operatorname {arcsch} \, x=\ln \left( \frac{1}{x}+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{\left| x \right|} \right)
\operatorname {arcoth} \, x=\tfrac{1}{2}\ln  \frac{x+1}{x-1} ;\left| x \right|>1

Đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]

 \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,
 \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,
 \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\hbox{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{csch}\,x = - \coth x \ \hbox{csch}\,x \,
 \frac{d}{dx}\ \hbox{sech}\,x = - \tanh x \ \hbox{sech}\,x \,
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}
\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}

Nguyên hàm[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm: Danh sách tích phân với hàm hyperbolic

\int\sinh ax\,dx = a^{-1}\cosh ax + C
\int\cosh ax\,dx = a^{-1}\sinh ax + C
\int \tanh ax\,dx = a^{-1}\ln(\cosh ax) + C
\int \coth ax\,dx = a^{-1}\ln(\sinh ax) + C
\int{\frac{du}{\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{\sqrt{u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}<a^{2}
\int{\frac{du}{a^{2}-u^{2}}}=a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C; u^{2}>a^{2}
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}-u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right)+C
\int{\frac{du}{u\sqrt{a^{2}+u^{2}}}}=-a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right|+C

với Chằng số tích phân.

Khai triển chuỗi Taylor[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể biểu diễn các hàm hyperbolic bằng chuỗi Taylor:

\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}

Hàm sinh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ lẻ của x. Do vậy nó là hàm lẻ, hay, −sinh x = sinh(−x), và sinh 0 = 0.

\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}

Hàm cosh x biểu diễn theo chuỗi Taylor chỉ với số mũ chẵn của x. Do vậy nó là hàm chẵn, hay, nó đối xứng qua trục y. Tổng của chuỗi sinh và cosh là biểu thức chuỗi vô hạn của hàm mũ.

\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\coth x = x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi (chuỗi Laurent)
\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}
\operatorname {csch}\, x = x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi (chuỗi Laurent)

với

B_n \,số Bernoulli thứ n
E_n \,số Euler thứ n

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Một số ví dụ sử dụng arcsinh trên Google Books.
  2. ^ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
  3. ^ Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
  4. ^ Eric W. Weisstein. “Hyperbolic Tangent”. MathWorld. Truy cập ngày 20 tháng 10 năm 2008. 
  5. ^ N.P., Bali (2005). Golden Intergral Calculus. Firewall Media. tr. 472. ISBN 8-170-08169-6. , Extract of page 472

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]