Hình diều

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm
Kite
GeometricKite.svg
A kite, showing its pairs of equal length sides and its inscribed circle.
LoạiQuadrilateral
Số Cạnhđỉnh4
Nhóm đối xứngD1 (*)
Dual polygonIsosceles trapezoid

Trong hình học Euclide, một hình diều (còn gọi là hình deltoids (đọc là đen-ta)) là một hình tứ giác có bốn cạnh có thể được nhóm thành hai cặp cạnh có độ dài bằng nhau liền kề nhau. Ngược lại, hình bình hành cũng có hai cặp cạnh có độ dài bằng nhau, nhưng chúng đối diện nhau chứ không phải liền kề. Tứ giác diều được đặt tên cho những con diều bay, gió, thường có hình dạng này và lần lượt được đặt tên cho một con chim.

Một con diều, như được định nghĩa ở trên, có thể là lồi hoặc lõm, nhưng từ "diều" thường bị giới hạn trong giống lồi. Một con diều lõm đôi khi được gọi là "phi tiêu" hoặc "đầu mũi tên", và là một loại tam giác giả.

Trường hợp đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Ốp lát hình tam giác được làm bằng các mặt diều giống hệt nhau, với các góc trong 60-90-120 độ.

Có thể phân loại các tứ giác theo thứ bậc (trong đó một số lớp tứ giác là tập con của các lớp khác) hoặc như một phân vùng (trong đó mỗi tứ giác chỉ thuộc về một lớp). Với sự phân loại theo thứ bậc, một hình thoi (một hình tứ giác có bốn cạnh có cùng chiều dài) hoặc hình vuông được coi là trường hợp đặc biệt của một con diều, bởi vì có thể phân chia các cạnh của nó thành hai cặp liền kề có chiều dài bằng nhau. Theo cách phân loại này, mỗi con diều bằng nhau là một hình thoi, và mỗi con diều hình tam giác là một hình vuông. Tuy nhiên, với phân loại phân vùng, hình thoi và hình vuông không được coi là diều, và một con diều không thể là hình bình đẳng hoặc hình tam giác. Vì lý do tương tự, với phân loại phân vùng, các hình dạng đáp ứng các ràng buộc bổ sung của các lớp tứ giác khác, chẳng hạn như diều bên phải được thảo luận dưới đây, sẽ không được coi là diều. Phần còn lại của bài viết này tuân theo phân loại thứ bậc, trong đó hình thoi, hình vuông và diều phải đều được coi là diều. Bằng cách tránh sự cần thiết phải xử lý các trường hợp đặc biệt khác nhau, phân loại phân cấp này có thể giúp đơn giản hóa tuyên bố các định lý về diều.[1]

Một hình diều có ba góc 108° bằng nhau và một góc 36° tạo thành thân lồi của đàn Pythagoras.[2]

Những hình diều cũng là tứ giác nội tiếp (tức là những hình diều có thể được ghi trong một vòng tròn) chính xác là những con được hình thành từ hai tam giác vuông đồng dạng. Nghĩa là, đối với những con diều này, hai góc bằng nhau ở hai phía đối diện của trục đối xứng là mỗi góc 90 độ.[3] Những hình dạng này được gọi là hình diều vuông.[1] Bởi vì chúng đăng ký một vòng tròn và được ghi vào một vòng tròn khác, chúng là tứ giác hai chiều. Trong số tất cả các tứ giác hai chiều với bán kính hai vòng tròn cho trước, một hình có diện tích tối đa là một con diều bên phải.[4]

Chỉ có tám đa giác có thể xếp mặt phẳng theo cách phản xạ bất kỳ ô nào trên bất kỳ cạnh nào của nó tạo ra ô khác; một trong số đó là một hình diều vuông, với các góc 60°, 90° và 120°. Ốp lát mà nó tạo ra bởi sự phản xạ của nó là ốp lát tam giác hình tam giác.[5]

Trong số tất cả các tứ giác, hình dạng có tỷ lệ lớn nhất của nó chu vi để nó có đường kính là một equidiagonal diều với góc pi / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Bốn đỉnh của nó nằm ở ba góc và một trong các trung điểm bên của tam giác Reuleaux (phía trên bên phải).[6]

Trong hình học phi Euclide, một tứ giác Lambert là một hình diều vuông có ba góc vuông.[7]

Đặc điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Ví dụ diều và diều lõm. Trường hợp lõm được gọi là phi tiêu.

Một hình tứ giác là một hình diều khi và chỉ khi bất kỳ một trong các điều kiện sau đây là đúng:

  • Hai cặp khác nhau của các cạnh bên bằng nhau (theo định nghĩa).
  • Một đường chéo là đường phân giác vuông góc của đường chéo kia.[8] (Trong trường hợp lõm, nó là phần mở rộng của một trong các đường chéo.)
  • Một đường chéo là một đường đối xứng (nó chia tứ giác thành hai tam giác đồng dạng là hình ảnh phản chiếu của nhau).[9]
  • Một đường chéo chia đôi một góc đối diện.[9]

Đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

Diều là tứ giác có trục đối xứng dọc theo một trong các đường chéo của chúng.[10] Bất kỳ tứ giác không tự cắt nào có trục đối xứng phải là một hình diều (nếu trục đối xứng là một đường chéo) hoặc hình thang cân (nếu trục đối xứng đi qua trung điểm của hai bên); chúng bao gồm các trường hợp đặc biệt hình thoihình chữ nhật tương ứng, có hai trục đối xứng nhau, và hình vuông vừa là hình diều vừa là hình thang cân đối và có bốn trục đối xứng.[11] Nếu các giao cắt được cho phép, danh sách các tứ giác có trục đối xứng phải được mở rộng để bao gồm cả các hình bình hành.

Các tính chất cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi hình diều là chính thống, có nghĩa là hai đường chéo của nó nằm đúng góc với nhau. Hơn nữa, một trong hai đường chéo (trục đối xứng) là đường phân giác vuông góc của đường kia, và cũng là đường phân giác góc của hai góc mà nó gặp nhau.[10]

Một trong hai đường chéo của một con diều lồi chia nó thành hai hình tam giác cân; cái kia (trục đối xứng) chia diều thành hai hình tam giác đồng dạng.[11] Hai góc bên trong của một con diều nằm ở hai phía đối diện của trục đối xứng là bằng nhau.

Diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Như thường đúng hơn đối với bất kỳ tứ giác chính thống nào, diện tích A của diều có thể được tính bằng một nửa tích của độ dài các đường chéo m và n:


(nghĩa là tích hai đường chéo nhân nhau chia 2)

Chu vi[sửa | sửa mã nguồn]

Chu vi hình diều được tính theo công thức:

(với a và b là các cạnh bên bằng nhau)

Đường tròn nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Mỗi con diều lồi có một đường tròn nội tiếp; đó là, tồn tại một vòng tròn tiếp tuyến với cả bốn phía. Do đó, mỗi cánh diều lồi là một tứ giác ngoại tiếp. Ngoài ra, nếu một con diều lồi không phải là hình thoi, có một vòng tròn khác, bên ngoài con diều, tiếp xúc với các đường đi qua bốn phía của nó; do đó, mỗi con diều lồi không phải hình thoi là một tứ giác nội tiếp.

Đối với mỗi cánh diều lõm tồn tại hai vòng tròn tiếp xúc với cả bốn mặt (có thể mở rộng): một vòng nằm bên trong cánh diều và chạm vào hai mặt đối diện với góc lõm, trong khi vòng tròn còn lại nằm ngoài diều sự cố hai cạnh với góc lõm.[12]

Thuộc tính kép[sửa | sửa mã nguồn]

Hình diều và hình thang cân là kép: hình cực của diều là hình thang cân, và ngược lại.[13] Tính đối ngẫu góc của diều và hình thang cân được so sánh trong bảng dưới đây.[9]

Hình thang cân Hình diều
Hai cặp góc bằng nhau Hai cặp cạnh nhau bằng nhau
Một cặp cạnh đối diện bằng nhau Một cặp góc đối diện bằng nhau
Một trục đối xứng qua một cặp cạnh đối diện Một trục đối xứng qua một cặp góc đối diện
Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp

Nghiêng và khối đa diện[sửa | sửa mã nguồn]

Tất cả các hình diều xếp mặt phẳng bằng cách đảo ngược lặp lại xung quanh các điểm giữa của các cạnh của chúng, cũng như nói chung là tất cả các tứ giác. Một con diều có các góc π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 cũng có thể xếp mặt phẳng bằng cách phản xạ lặp đi lặp lại qua các cạnh của nó; kết quả là tessname, ốp hình tam giác deltoidal, chồng lên một phần của mặt phẳng bởi các hình lục giác và tam giác đều.[14]

Các icositetrahedron deltoidal, hexecontahedron và hình thang là các khối đa diện với các mặt hình diều đồng dạng. Có vô số các lát đồng nhất của mặt phẳng hyperbolic bởi diều, trong đó đơn giản nhất là ốp hình tam giác deltoidal.

Hình diều và hình phi tiêu trong đó hai tam giác cân tạo thành diều có góc đỉnh là 2π / 5 và 4π / 5 đại diện cho một trong hai bộ gạch thiết yếu trong ốp lát Penrose, một lát gạch định kỳ của mặt phẳng được phát hiện bởi nhà vật lý toán học Roger Penrose.

Sự tự vận chuyển trực diện của mặt cầu, mặt phẳng Euclide và mặt phẳng hyperbol với diều xảy ra dưới dạng đối ngẫu đồng nhất: liên_kết=liên_kết=liên_kết=liên_kết=liên_kết= đối với nhóm Coxeter [p, q], với bất kỳ tập hợp p, q nào trong khoảng từ 3 đến vô cùng, vì bảng này hiển thị một phần lên đến q = 6. Khi p = q, diều trở thành hình thoi.

Deltoidal polyhedra and tilings
Polyhedra Euclidean Hyperbolic tilings
Rhombicdodecahedron.jpg

V4.3.4.3
Deltoidalicositetrahedron.jpg

V4.3.4.4
Deltoidalhexecontahedron.jpg

V4.3.4.5
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg

V4.3.4.6
Deltoidal triheptagonal til.png

V4.3.4.7
Deltoidal trioctagonal til.png

V4.3.4.8
... Deltoidal triapeirogonal til.png

V4.3.4.∞
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=
Polyhedra Euclidean Hyperbolic tilings
Deltoidalicositetrahedron.jpg

V4.4.4.3
Square tiling uniform coloring 1.png

V4.4.4.4
Deltoidal tetrapentagonal tiling.png

V4.4.4.5
H2chess 246d.png

V4.4.4.6
Deltoidal tetraheptagonal til.png

V4.4.4.7
H2chess 248d.png

V4.4.4.8
... H2chess 24id.png

V4.4.4.∞
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=
Polyhedra Hyperbolic tilings
Deltoidalhexecontahedron.jpg

V4.3.4.5
Deltoidal tetrapentagonal tiling.png

V4.4.4.5
Order-5-4 quasiregular rhombic tiling.png

V4.5.4.5
Deltoidal pentahexagonal tiling.png

V4.6.4.5
V4.7.4.5 V4.8.4.5 ... V4.∞.4.5
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=
Euclidean Hyperbolic tilings
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg

V4.3.4.6
H2chess 246d.png

V4.4.4.6
Deltoidal pentahexagonal tiling.png

V4.5.4.6
H2chess 266d.png

V4.6.4.6
V4.7.4.6 H2chess 268d.png

V4.8.4.6
... H2chess 26id.png

V4.∞.4.6
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=
Hyperbolic tilings
Deltoidal triheptagonal til.png

V4.3.4.7
V4.4.4.7 V4.5.4.7 V4.6.4.7 V4.7.4.7 V4.8.4.7 ... V4.∞.4.7
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=
Hyperbolic tilings
Deltoidal trioctagonal til.png

V4.3.4.8
H2chess 248d.png

V4.4.4.8
V4.5.4.8 H2chess 268d.png

V4.6.4.8
V4.7.4.8 H2chess 288d.png

V4.8.4.8
... H2chess 28id.png

V4.∞.4.8
liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết= liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=liên kết=

Điều kiện khi một tứ giác ngoại tiếp là một hình diều[sửa | sửa mã nguồn]

Một tứ giác ngoại tiếp là một hình diều khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây là đúng:[11]

  • Diện tích là một nửa sản phẩm của các đường chéo.
  • Các đường chéo là vuông góc. (Do đó, diều chính xác là tứ giác vừa tiếp tuyến vừa chính trực.)
  • Hai đoạn đường nối các điểm đối diện của tiếp tuyến có độ dài bằng nhau.
  • Một cặp chiều dài tiếp tuyến ngược nhau có chiều dài bằng nhau.
  • Các tứ giác có chiều dài bằng nhau.
  • Các sản phẩm của các mặt đối diện là bằng nhau.
  • Tâm của vòng tròn nằm trên một đường đối xứng cũng là một đường chéo.

Nếu các đường chéo trong một ABCD tứ giác ngoại tiếp giao nhau tại P, và các incircles trong tam giác ABP, BCP, CDP, DAP có bán kính r 1, r 2, r 3,r 4 tương ứng, sau đó các tứ giác là một chiếc diều khi và chỉ khi [11]

Nếu các hình tròn có cùng bốn hình tam giác đối diện với đỉnh P có bán kính R 1, R 2, R 3R 4 tương ứng, thì tứ giác là một diều khi và chỉ khi [11]

Tài liệu đọc thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă The role and function of a hierarchical classification of quadrilaterals 
  2. ^ The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, 2004 .
  3. ^ A note on quadrilaterals, 1944 .
  4. ^ Maximal area of a bicentric quadrilateral, 2012 .
  5. ^ Edge tessellations and stamp folding puzzles, 2011 .
  6. ^ Chú thích trống (trợ giúp) ; Chú thích trống (trợ giúp) .
  7. ^ College Geometry, 1995 .
  8. ^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 49-52.
  9. ^ a ă â Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry, ISBN 978-0-557-10295-2, 2009, pp. 16, 55.
  10. ^ a ă Elementary Synthetic Geometry, 1896 .
  11. ^ a ă â b c Chú thích trống (trợ giúp) . Lỗi chú thích: Thẻ <ref> không hợp lệ: tên “Josefsson” được định rõ nhiều lần, mỗi lần có nội dung khác
  12. ^ Quadrilaterals, 1958 .
  13. ^ Classifying triangles and quadrilaterals, 1977 .
  14. ^ See Weisstein, Eric W., "Hình diều" từ MathWorld..

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]