Không gian Euclid nhiều chiều

Trong quá trình nghiên cứu toán học và vật lý, nhiều nhà toán học và vật lý đã xây dựng cơ sở và lý thuyết cho toán học nhiều chiều. Sau đây là lý thuyết cơ bản cho không gian Euclide n chiều.

Khái niệm không gian Euclide n chiều

Không gian Euclide n chiều được hiểu là không gian phẳng tương ứng với tập hợp $(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ hay Rⁿ mang tính tuyến tính với n vector cơ sở trực chuẩn là (1, 0,...,0),(0, 1,...,0),...,(0,...,0, 1)

Khái niệm tọa độ

Cho hệ tọa độ gồm n trục vuông góc đôi một $Ox_{1}x_{2}...x_{n}$

Cho điểm A nằm trong không gian $Ox_{1}x_{2}...x_{n}$

$x_{i}$ là độ dài đại số của hình chiếu OA xuống trục $Ox_{i}$

$(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ là tọa độ của A trong không gian $Ox_{1}x_{2}...x_{n}$

Khái niệm vector

Cho không gian hệ n trục trực chuẩn $Ox_{1}x_{2}...x_{n}$. Cho 2 điểm $A(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và $B(b_{1},b_{2},...,b_{n})$

Ta định nghĩa vector như sau:

${\overrightarrow {AB}}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2},...,b_{n}-a_{n})$

$|b_{i}-a_{i}|$ là độ dài của hình chiếu của AB xuống trục $Ox_{i}$

Khoảng cách trong không gian Euclide n chiều

Tổng quát cho hai điểm $A(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và $B(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ trong không gian Euclide n chiều với hệ cơ sở là n vector trực chuẩn. Khoảng cách A và B là:

$AB=|{\overrightarrow {AB}}|={\sqrt {(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+...+(b_{n}-a_{n})^{2}}}$

Tích hai vector trong không gian Euclide n chiều

Cho hai vector $OA(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ và $OB(b_{1},b_{2},...,b_{n})$ trong không gian Euclide n chiều.

Tích hai vector:

${\overrightarrow {OB}}.{\overrightarrow {OA}}=|{\overrightarrow {OA}}|.|{\overrightarrow {OB}}|cos({\overrightarrow {OA}},{\overrightarrow {OB}})=a_{1}*b_{1}+a_{2}*b_{2}+...+a_{n}*b_{n}$

Góc trong không gian Euclide n chiều

${\overrightarrow {OA}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})$

${\overrightarrow {OB}}=(b_{1},b_{2},...,b_{n})$

$cos(AOB)={\frac {{\overrightarrow {OA}}.{\overrightarrow {OB}}}{|{\overrightarrow {OA}}|.|{\overrightarrow {OB}}|}}$

$cos(AOB)={\frac {a_{1}*b_{1}+a_{2}*b_{2}+...+a_{n}*b_{n}}{{\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}}*{\sqrt {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}}}}}$

Xem thêm

• Không gian Euclide

Tham khảo

• Đại số tuyến tính. Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 2001.
• Giải tích toán học. Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. 2007.