Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong lý thuyết tập hợp, lý thuyết tập hợp Zermelo-Fraenkel, được đặt theo tên của các nhà toán học Ernst Zermelo và Abraham Fraenkel, là một hệ thống tiên đề được đề xuất vào đầu thế kỷ XX để xây dựng một lý thuyết tập hợp không còn các nghịch lý như nghịch lý Russell.

Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel thường được ký hiệu là ZF. Lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel cùng với tiên đề chọn được ký hiệu là ZFC.

Các tiên đề[sửa | sửa mã nguồn]

1. Tiên đề quảng tính[sửa | sửa mã nguồn]

Một tập hợp hoàn toàn được xác định bởi các phần tử của nó[1]

2. Tiên đề chính tắc[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi tập không rỗng chứa một phần tử sao cho rời nhau.

[2]

3. Tiên đề tuyển lựa (tiên đề nội hàm)[sửa | sửa mã nguồn]

Ta có thể xây dựng một tập hợp từ các phần tử trong tập hợp thỏa mãn các tính chất nhất định.[3] Cố định một tính chất , ta có

4. Tiên đề cặp[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu là các tập hợp thì tồn tại một tập hợp chứa như các phần tử

Theo tiên đề quảng tính, tập hợp đó là duy nhất.[4]

5. Tiên đề hợp[sửa | sửa mã nguồn]

6. Tiên đề thay thế[sửa | sửa mã nguồn]

Tiên đề này được sử dụng trong quy nạp siêu hạn với số thứ tự.[5]

7. Tiên đề vô hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt là tập hợp .Ta có[5]

Tiên đề này cho phép xây dựng các số tự nhiên liên tiếp và tập hợp các số tự nhiên.

8. Tiên đề tập hợp các bộ phận[sửa | sửa mã nguồn]

Tồn tại tập hợp các bộ phận, hay tập lũy thừa:[6]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 32
  2. ^ Shoenfield (2001), tr. 239
  3. ^ Hoàng Xuân SÍnh (1972), tr.33
  4. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 34
  5. ^ a ă Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 36
  6. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 35

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, Nhà xuất bản Giáo dục
  • Shoenfield, Joseph R., Mathematical Logic (2nd ed.), 2001, A K Peters. ISBN 978-1-56881-135-2.