Giá trị thập phân của logarit tự nhiên của 2 (dãy số A002162 OEIS ) xấp xỉ bằng
ln
2
≈
0.693
147
180
559
945
309
417
232
121
458.
{\displaystyle \ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.}
Logarit cơ số khác của 2 được tính bằng công thức
log
b
2
=
ln
2
ln
b
.
{\displaystyle \log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.}
Logarit cơ số 10 của 2 là (A007524
log
10
2
≈
0.301
029
995
663
981
195.
{\displaystyle \log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.}
Nghịch đảo của con số trên là logarit nhị phân của 10:
log
2
10
=
1
log
10
2
≈
3.321
928
095
{\displaystyle \log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095}
A020862 Theo định lý Lindemann–Weierstrass , logarit tự nhiên của bất kỳ số tự nhiên nào khác 0 và 1 (tổng quát hơn, của bất kỳ số đại số dương nào khác 1) là một số siêu việt .
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
=
1
−
1
2
+
1
3
−
1
4
+
1
5
−
1
6
+
⋯
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .}
chuỗi điều hòa đổi dấu " quen thuộc.
ln
2
=
1
2
+
1
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.}
ln
2
=
5
8
+
1
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.}
ln
2
=
2
3
+
3
4
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
ln
2
=
131
192
+
3
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ln
2
=
661
960
+
15
4
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
ln
2
=
1
−
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.}
ln
2
=
1
2
+
2
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.}
ln
2
=
5
6
−
6
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.}
ln
2
=
7
12
+
24
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.}
ln
2
=
47
60
−
120
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
(
n
+
3
)
(
n
+
4
)
(
n
+
5
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.}
∑
n
=
0
∞
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
2
)
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.}
∑
n
=
1
∞
1
n
(
4
n
2
−
1
)
=
2
ln
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
4
n
2
−
1
)
=
ln
2
−
1.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.}
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
n
(
9
n
2
−
1
)
=
2
ln
2
−
3
2
.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.}
∑
n
=
1
∞
1
4
n
2
−
2
n
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.}
∑
n
=
1
∞
2
(
−
1
)
n
+
1
(
2
n
−
1
)
+
1
8
n
2
−
4
n
=
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
3
n
+
1
=
ln
2
3
+
π
3
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
3
n
+
2
=
−
ln
2
3
+
π
3
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.}
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
3
n
+
1
)
(
3
n
+
2
)
=
2
ln
2
3
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.}
∑
n
=
1
∞
1
∑
k
=
1
n
k
2
=
18
−
24
ln
2
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2}
lim
N
→
∞
∑
n
=
N
2
N
1
n
=
ln
2
{\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2}
∑
n
=
1
∞
1
4
k
2
−
3
k
=
ln
2
+
π
6
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4k^{2}-3k}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}}
∑
n
=
2
∞
1
2
n
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
ln
2
−
1
2
.
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}
∑
n
=
2
∞
1
2
n
+
1
[
ζ
(
n
)
−
1
]
=
1
−
γ
−
ln
2
2
.
{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}
∑
n
=
1
∞
1
2
2
n
−
1
(
2
n
+
1
)
ζ
(
2
n
)
=
1
−
ln
2.
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.}
(γ hằng số Euler–Mascheroni và ζ hàm zeta Riemann .)
ln
2
=
2
3
+
1
2
∑
k
=
1
∞
(
1
2
k
+
1
4
k
+
1
+
1
8
k
+
4
+
1
16
k
+
12
)
1
16
k
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.}
Áp dụng ba chuỗi tổng quát cho logarit tự nhiên của 2 ta được:
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
n
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.}
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
1
2
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.}
ln
2
=
2
3
∑
k
=
0
∞
1
9
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.}
Áp dụng cho
2
=
3
2
⋅
4
3
{\displaystyle \textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}}
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
2
n
n
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
3
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.}
ln
2
=
∑
n
=
1
∞
1
3
n
n
+
∑
n
=
1
∞
1
4
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.}
ln
2
=
2
5
∑
k
=
0
∞
1
25
k
(
2
k
+
1
)
+
2
7
∑
k
=
0
∞
1
49
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.}
Áp dụng cho
2
=
(
2
)
2
{\displaystyle \textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}}
ln
2
=
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
+
1
)
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.}
ln
2
=
2
∑
n
=
1
∞
1
(
2
+
2
)
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.}
ln
2
=
4
3
+
2
2
∑
k
=
0
∞
1
(
17
+
12
2
)
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.}
Áp dụng cho
2
=
(
16
15
)
7
⋅
(
81
80
)
3
⋅
(
25
24
)
5
{\displaystyle \textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}}
ln
2
=
7
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
15
n
n
+
3
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
80
n
n
+
5
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
24
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.}
ln
2
=
7
∑
n
=
1
∞
1
16
n
n
+
3
∑
n
=
1
∞
1
81
n
n
+
5
∑
n
=
1
∞
1
25
n
n
.
{\displaystyle \ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.}
ln
2
=
14
31
∑
k
=
0
∞
1
961
k
(
2
k
+
1
)
+
6
161
∑
k
=
0
∞
1
25921
k
(
2
k
+
1
)
+
10
49
∑
k
=
0
∞
1
2401
k
(
2
k
+
1
)
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.}
Logarit tự nhiên của 2 thường xuyên xuất hiện trong các kết quả lấy tích phân. Một số công thức cụ thể bao gồm:
∫
0
1
d
x
1
+
x
=
∫
1
2
d
x
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2}
∫
0
∞
e
−
x
1
−
e
−
x
x
d
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2}
∫
0
π
3
tan
x
d
x
=
2
∫
0
π
4
tan
x
d
x
=
ln
2
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2}
−
1
π
i
∫
0
∞
ln
x
ln
ln
x
(
x
+
1
)
2
d
x
=
ln
2
{\displaystyle -{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2}
Khai triển Pierce là A091846
ln
2
=
1
−
1
1
⋅
3
+
1
1
⋅
3
⋅
12
−
⋯
.
{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .}
Khai triển Engel là A059180
ln
2
=
1
2
+
1
2
⋅
3
+
1
2
⋅
3
⋅
7
+
1
2
⋅
3
⋅
7
⋅
9
+
⋯
.
{\displaystyle \ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .}
Khai triển cotang là A081785
ln
2
=
cot
(
arccot
(
0
)
−
arccot
(
1
)
+
arccot
(
5
)
−
arccot
(
55
)
+
arccot
(
14187
)
−
⋯
)
.
{\displaystyle \ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).}
Phân số liên tục đơn giản là A016730
ln
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
6
,
3
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
10
,
1
,
1
,
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
3
,
2
,
3
,
1
,
.
.
.
]
{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}
cho ta những xấp xỉ hữu tỉ đầu tiên là 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 và 61/88.
Phân số liên tục tổng quát :
ln
2
=
[
0
;
1
,
2
,
3
,
1
,
5
,
2
3
,
7
,
1
2
,
9
,
2
5
,
.
.
.
,
2
k
−
1
,
2
k
,
.
.
.
]
{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}
[ 1] cũng có thể viết dưới dạng
ln
2
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
2
2
+
2
5
+
3
2
+
3
7
+
4
2
+
⋱
=
2
3
−
1
2
9
−
2
2
15
−
3
2
21
−
⋱
{\displaystyle \ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}
Sử dụng giá trị của ln 2 , ta có thể tính logarit của các số tự nhiên khác bằng cách lập bảng logarit của các số nguyên tố rồi tính logarit của các hợp số c dựa trên phân tích ra thừa số nguyên tố của nó
c
=
2
i
3
j
5
k
7
l
⋯
⇒
ln
(
c
)
=
i
ln
(
2
)
+
j
ln
(
3
)
+
k
ln
(
5
)
+
l
ln
(
7
)
+
⋯
{\displaystyle c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \Rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots }
Bảng logarit của các số nguyên tố
Logarit của các số hữu tỉ r = a / b ln(r ) = ln(a ) − ln(b ) , và logarit của căn bằng ln n c 1 / n c ) .
Logarit tự nhiên của 2 có ích bởi các lũy thừa của 2 phân bố dày đặc hơn những lũy thừa khác; tìm những lũy thừa 2i gần với lũy thừa bj b ln(b ) có thể tính bằng Chuyển đổi logarit .
Sau đây là bảng những kỷ lục gần đây trong việc tính toán các chữ số của ln 2 . Tính đến tháng 12 năm 2018, logarit của 2 đã có nhiều chữ số được tính hơn bất kỳ logarit tự nhiên của số tự nhiên nào khác,[ 2] [ 3]
Ngày
Tên
Số chữ số
7 tháng 1 năm 2009
A.Yee & R.Chan
15.500.000.000
4 tháng 2 năm 2009
A.Yee & R.Chan
31.026.000.000
21 tháng 2 năm 2011
Alexander Yee
50.000.000.050
14 tháng 5 năm 2011
Shigeru Kondo
100.000.000.000
28 tháng 2 năm 2014
Shigeru Kondo
200.000.000.050
12 tháng 7 năm 2015
Ron Watkins
250.000.000.000
30 tháng 1 năm 2016
Ron Watkins
350.000.000.000
18 tháng 4 năm 2016
Ron Watkins
500.000.000.000
10 tháng 12 năm 2018
Michael Kwok
600.000.000.000
26 tháng 4 năm 2019
Jacob Riffee
1.000.000.000.000
19 tháng 8 năm 2020
Seungmin Kim[ 4] [ 5]
1.200.000.000.100
Brent, Richard P. (1976). “Fast multiple-precision evaluation of elementary functions”. J. ACM . 23 (2): 242–251. doi :10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . Uhler, Horace S. (1940). “Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17” . Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A . 26 (3): 205–212. doi :10.1073/pnas.26.3.205 . MR 0001523 . PMC 1078033 PMID 16588339 . Sweeney, Dura W. (1963). “On the computation of Euler's constant” . Mathematics of Computation . 17 (82): 170–178. doi :10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X MR 0160308 . Chamberland, Marc (2003). “Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes” (PDF) . Journal of Integer Sequences . 6 : 03.3.7. MR 2046407 . Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 6 tháng 6 năm 2011. Truy cập ngày 29 tháng 4 năm 2010 . Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). “Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas” (PDF) . Applied Math. E-Notes . 7 : 237–246. MR 2346048 . Wu, Qiang (2003). “On the linear independence measure of logarithms of rational numbers” . Mathematics of Computation . 72 (242): 901–911. doi :10.1090/S0025-5718-02-01442-4
A007524)
A020862).
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61c76e20b8727253043baa534c03f6a85808e72)
![{\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (n)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36987d1661376b566e8968ccf51c8d029e6a1873)
![{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f8173c7c5f057cbbf1d0292b9cf10e9eee6e208)
![{\displaystyle \ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd30af8050ce0bde521ec3ff78833704ba286a)
