Mô-đun (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, mô-đun là một trong những cấu trúc đại số cơ bản được sử dụng trong đại số trừu tượng. Mô-đun trên một vành tổng quá hoát khái niệm không gian vectơ trên một trường, tương ứng với các số vô hướng là các phần tử của một vành (có đơn vị) cho trước và ta có một phép nhân (trái và/hoặc phải) giữa vành và mô-đun. Một mô-đun trên một vành R được gọi là một R-mô-đun.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử R là một vành có đơn vị 1R. Một R-mô-đun trái M bao gồm một nhóm giao hoán (M, +) và một phép toán ⋅: R × MM sao cho với mọi r, s thuộc Rx, y thuộc M, ta có:

Phép toán của vành trên M được gọi là phép nhân vô hướng. Ký hiệu RM chỉ R-mô-đun trái. Một R-mô-đun phải hay MR được định nghĩa tương tự, với phép nhân có dạng xr, yr, xs, ys, (xs)r, vân vân.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các loại mô-đun[sửa | sửa mã nguồn]

Hữu hạn sinh
Một R-mô-đun Mhữu hạn sinh nếu tồn tại một số hữu hạn các phần tử x1,..., xn thuộc M mà mọi phần tử của M là một tổ hợp R-tuyến tính của chúng.
Tuần hoàn
Một mô-đun tuần hoàn được sinh bởi một phần tử.
Tự do
Một R-mô-đun tự do là một R-mô-đun có cơ sở, hoặc tương đương, một R-mô-đun đảng cấu với một tổng trực tiếp các bản sao của R.
Xạ ảnh
Một R-mô-đun xạ ảnh là một số hạng trực tiếp của một R-mô-đun tự do. Tức là M là một R-mô-đun xạ ảnh khi và chỉ khi (k là một số tự nhiên và N là một R-mô-đun).
Nội xạ
Các R-mô-đun nội xạ được định nghĩa đối ngẫu (theo nghĩa phạm trù) với các R-mô-đun xạ ảnh.
Phẳng
Một mô-đun được gọi là phẳng nếu tích ten-xơ của nó với bất kỳ dãy khớp nào của R lại là một dãy khớp.

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • FW Anderson và KR Fuller: Vành và phạm trù các mô-đun, Giáo trình Cao học ngành Toán, Tập. 13, Ed Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
  • Nathan Jacobson. Cấu trúc của các vành. Ấn phẩm Colloquium, Tập. 37, Ed Ed., Nhà sách AMS, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]