Nhóm (đại số)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Lý thuyết nhóm xuất hiện lần đầu trong công trình của nhà toán học Pháp Évariste Galois vào năm 1830 khi ông nghiên cứu về điều kiện để các phương trình đại số giải được bằng căn thức. Khi đó các nhóm thường được nghiên cứu là nhóm các hoán vị. Rất nhiều cấu trúc toán học khác nhau được quy về cấu trúc nhóm. Trong đó bao gồm cả cấu trúc của tập hợp các số nguyên, số hữu tỷ, số thực, số phức. Lý thuyết nhóm được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các ngành khoa học kỹ thuật khác.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Trong đại số trừu tượng, một nhóm (G,*) là một tập hợp G, cùng với một phép toán hai ngôi, ký hiệu " * ", từ G×G vào G thỏa mãn các tiên đề sau:

G1. Tính kết hợp: phép toán "*" có tính kết hợp, nghĩa là

(a*b)*c = a*(b*c) với mọi a, bc thuộc G.

G2. Phần tử trung hòa:Trong G tồn tại một phần tử được gọi là phần tử trung hòa θ sao cho với mọi phần tử a thuộc G thì

a*θ = θ*a = a.

G3. Phần tử đối lập: với mỗi phần tử a thuộc G tồn tại một phần tử x, gọi là phần tử đối lập của a, sao cho:

x*a = a*x = θ.

Lý thuyết toán học phát triển cho các nhóm gọi là lý thuyết nhóm. Lý thuyết này có nhiều ứng dụng vì nhiều thực thể toán học đã gặp trong khoa học thỏa mãn điều kiện trở thành nhóm. Nhóm đại số cũng giúp nghiên cứu về sự đối xứng, một tính chất thường gặp trong tự nhiên và vật lý học.

Trong định nghĩa của nhóm phép "*" không đòi hỏi có tính chất giao hoán (a*b=b*a) nếu G thỏa mãn thêm tính chất này thì G được gọi là nhóm giao hoán, hay nhóm Abel. Nếu G không có tính giao hoán thì G được gọi là phi giao hoán hay không Abel.

Những lưu ý về ký hiệu và thuật ngữ trong nhóm[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu "*" là ký hiệu tống quát cho các phép toán, hai ký hiệu thường gặp nhất là "+" (cộng) và "x" hoặc đơn giản là "." (nhân).

  • Khi sử dụng ký hiệu "+" ta nói rằng nhóm được viết theo lối cộng. Khi đó:
    • Kết quả phép cộng a+b được gọi là tổng của a với b;
    • Phần tử trung hòa được gọi là phần tử không, ký hiệu là 0;
    • Phần tử đối lập của phần tử a được gọi là phần tủ đối của a, kí hiệu là –a.
    • Tổng của n phần tử bằng a (n là số tự nhiên) được gọi là bội n của a, ký hiệu là na. Đặc biệt 0a=0,1a=a.
  • Khi sử dụng ký hiệu "x" hoặc "." ta nói rằng nhóm được viết theo lối nhân. Khi đó:
    • Kết quả phép nhân a.b được gọi là tích của a với b;
    • Phần tử trung hòa được gọi là phần tử đơn vị, ký hiệu là e hoặc 1;
    • Phần tử đối lập của phần tử a được gọi là phần tủ nghịch đảo của a, kí hiệu là a-1.
    • Tích của n phần tử bằng a được gọi là lũy thừa bậc n của a, kí hiệu là an. Đặc biệt a0=1,a1=a.

Tuy nhiên, trong đa số trường hợp người ta thường dùng cách viết theo lối nhân (cùng với các thuật ngữ tương ứng), cách viết theo lối cộng thường được dùng khi G là nhóm giao hoán.

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Nhóm giao hoán (nhóm Abel)[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Tập các số nguyên, Z, với phép toán là phép cộng thông thường, phần tử đơn vị là 0.
  2. Tập các số hữu tỉ dương với phép toán là phép nhân thông thường, phần tử đơn vị là 1.
  3. Tập hợp các phần tử của một vành bất kì với phép toán cộng của vành, phần tử đơn vị là 0 (nhóm này được gọi là nhóm cộng của vành).
  4. Tập hợp các phần tử khác 0, khả nghịch của một vành K giao hoán với phép nhân của vành, phần tử đơn vị là 1 (gọi là nhóm nhân của vành, kí hiệu K*).

Nhóm phi giao hoán[sửa | sửa mã nguồn]

  1. Tập các ma trận vuông khả nghịch cấp n với phép toán là phép nhân ma trận, phần tử đơn vị là ma trận đơn vị cấp n.
  2. Tập tất cả các song ánh (ánh xạ 1-1) từ một tập khác rỗng M vào chính nó (kí hiệu S(M)) với phép toán là phép nhân (phép hợp) ánh xạ, phần tử đơn vị là ánh xạ đồng nhất.
  3. Nếu trong ví dụ trên tập M là tập các số tự nhiên từ 1 đến n, thì S(M) là nhóm các hoán vị (còn gọi là nhóm các phép thế), kí hiệu  S_n - một nhóm quan trọng trong lí thuyết nhóm.
  4. Tập các phần tử khả nghịch đối với phép nhân trong vành Z_m(Tập các số tự nhiên nhỏ hơn m và nguyên tố cùng nhau với m đối với phép nhân theo môđun m (m \in \mathbb N,m>1)

Nhóm con[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu (G,*) là một nhóm, và G là tập con của G, (G',*) cũng là nhóm (cùng phép toán "*") thì G được gọi là nhóm con của G.

Các khái niệm liên quan[sửa | sửa mã nguồn]

Các định lí hữu ích[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]