Pentation

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Ba giá trị đầu tiên của biểu thức . Giá trị của là khoảng , các giá trị cho cao hơn quá lớn để xuất hiện trên đồ thị.

Trong toán học, pentation hoặc hyper-5 trong hyperoperation là phép toán bậc tiếp theo sau tetration và trước hexation. Pentation được định nghĩa là phép lặp của tetration, giống như tetration là phép lặp của lũy thừa[1]. Ký hiệu của pentation là ký hiệu chỉ số dưới bên trái [2], ký hiệu hyperoperation , ký hiệu mũi tên ba (hoặc viết gọn là ) trong ký hiệu mũi tên lên Knuth hay ký hiệu mũi tên xích Conway: [3].

Pentation được định nghĩa là "tetration lặp" (hay "chồng") nên nó cũng là một phép toán hai ngôi được xác định với hai số , trong đó được tetration lặp chính nó lần. Ví dụ: Biểu thức đọc là "2 pentation bậc 3" được biến đổi thành nghĩa là 2 được tetration lặp chính nó 3 lần và biểu thức này tiếp tục được biến đổi thành .

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Tên "pentation" theo tiếng Anh được Reuben Goodstein đặt ra vào năm 1947, nó được ghép bởi từ penta- nghĩa là "năm" trong tiền tố Hy Lạp và từ iteration nghĩa là "sự lặp lại" để chỉ phép lặp tạm dịch là "sự lặp lại lần thứ năm". Đây là một phần trong kế hoạch đặt tên chung của ông ấy cho các hyperoperation.[4]

Lưu ý: Hiện nay tên gọi tiếng Việt của từ pentation hiện chưa có một tài liệu nghiên cứu khoa học nào đề cập đến. Nếu có thì chỉ là tên gọi được "bịa đặt" hay "sáng tạo" chứ hoàn toàn không phải là tên gọi có cơ sở.

Thứ tự của phép toán[sửa | sửa mã nguồn]

Pentation là phép toán thứ năm trong năm phép toán bên dưới, là phép toán kế tiếp dưới tetration (trong đó phép cộng, nhân và luỹ thừa là ba phép toán cơ bản). Phép toán một ngôi successor, được định nghĩa là .

  1. Phép cộng:
    là số lần cộng thêm 1 của
  2. Phép nhân:
    là số lần cộng lặp chính nó
  3. Luỹ thừa:
    là số lần nhân lặp chính nó
  4. Tetration:
    là số lần luỹ thừa lặp chính nó
  5. Pentation:
    là số lần tetration lặp chính nó.

Phép toán sau là sự lặp lại của phép toán liền trước đó.

Tương tự, hexation được định nghĩa là phép lặp của pentation nên cũng được biểu diễn dưới sự lặp lại của pentation như sau:

là số lần pentation lặp chính nó.

Kí hiệu hyperoperation[sửa | sửa mã nguồn]

Các bậc phép toán còn được gọi là các hyper đều có thể được diễn đạt bằng ký hiệu hyperoperation. Trong dạng này, luỹ thừa có thể được hiểu là kết quả của sự áp dụng liên tục hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1; tetration , biểu thị giá trị thu được bằng cách áp dụng liên tục hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1; pentation , biểu thị giá trị thu được bằng cách áp dụng liên tục hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1; tương tự đối với hexation cũng biểu thị giá trị thu được bằng cách áp dụng liên tục hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1.[5][6]

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các giá trị của hàm pentation cũng có thể được lấy từ các giá trị trong hàng thứ tư của bảng giá trị của một biến thể của hàm Ackermann: Nếu được định nghĩa bằng sự tái diễn Ackermann với điều kiện ban đầu . Khi đó, .[7]

Cũng như tetration, cơ số và chiều cao của pentation chưa được mở rộng đến các số không phải số nguyên không âm, hiện chỉ được xác định cho các giá trị nguyên của trong đó , và một vài giá trị nguyên khác có thể được xác định duy nhất. Như với tất cả các phép toán khác vượt ra khỏi bậc 3 (luỹ thừa) và cao hơn, có các trường hợp tầm thường sau đây (đồng nhất) chứa hết tất cả giá trị trong miền của nó:

Ngoài ra, chúng ta có thể định nghĩa:

Khác với những trường hợp tầm thường ở trên, pentation tạo ra những số cực kỳ lớn rất nhanh đến nỗi chỉ có một vài trường hợp không tầm thường tạo ra những con số có thể được viết theo ký hiệu thông thường, như minh họa dưới đây:

  • (hiển thị ở đây trong ký hiệu số mũ lặp vì nó quá lớn để được viết theo ký hiệu thông thường. Ghi chú

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Perstein, Millard H. (tháng 6 năm 1962), “Algorithm 93: General Order Arithmetic”, Communications of the ACM, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160.
  2. ^ http://www.tetration.org/Tetration/index.html
  3. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, tr. 61, ISBN 9780387979939.
  4. ^ Goodstein, R. L. (1947), “Transfinite ordinals in recursive number theory”, The Journal of Symbolic Logic, 12 (4): 123–129, doi:10.2307/2266486, JSTOR 2266486, MR 0022537.
  5. ^ Knuth, D. E. (1976), “Mathematics and computer science: Coping with finiteness”, Science, 194 (4271): 1235–1242, doi:10.1126/science.194.4271.1235, PMID 17797067.
  6. ^ Blakley, G. R.; Borosh, I. (1979), “Knuth's iterated powers”, Advances in Mathematics, 34 (2): 109–136, doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5, MR 0549780.
  7. ^ Nambiar, K. K. (1995), “Ackermann functions and transfinite ordinals”, Applied Mathematics Letters, 8 (6): 51–53, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4, MR 1368037.