Pentation

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm
Ba giá trị đầu tiên của biểu thức x[5]2. Giá trị của 3[5]2 là khoảng 7.626 × 1012, các giá trị cho x cao hơn quá lớn để xuất hiện trên đồ thị.

Trong toán học, pentation hoặc hyper bậc 5 trong hệ hyper (tiếng Anh: pentation hoặc hyper-5) được định nghĩa là phép lặp của tetration, giống như tetration là phép lặp của lũy thừa[1]. Pentation là một phép toán hai ngôi được xác định với hai số ab, trong đó a được tetration cho chính nó với b-1 lần. Ví dụ, sử dụng ký hiệu hyper cho pentation và tetration, có nghĩa là số 2 được tetration cho chính nó 2 lần, hoặc . Điều này sau đó có thể giảm xuống

Từ nguyên[sửa | sửa mã nguồn]

Từ "pentation (pentation)" được Reuben Goodstein đặt ra vào năm 1947, nó được ghép bởi từ gốc là penta- (năm) và iteration (phép lặp). Đây là một phần trong kế hoạch đặt tên chung của ông ấy cho các hyper[2].

Kí hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

Có ít sự đồng thuận về ký hiệu cho pentation. Như vậy, có nhiều cách khác nhau để viết phép toán. Tuy nhiên, một số được sử dụng nhiều hơn những cái khác, và một số có ưu điểm hoặc nhược điểm rõ ràng so với những cái khác.

  • Pentation có thể được viết dưới dạng hyper như . Trong dạng này, có thể được hiểu là kết quả của sự áp dụng liên tục hàm cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1. Tương tự, , tetration, biểu thị giá trị thu được bằng cách liên tục áp dụng hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1, và pentation biểu thị giá trị thu được bằng cách liên tục áp dụng hàm , cho sự lặp lại theo , bắt đầu từ số 1.[3][4] Đây sẽ là ký hiệu được sử dụng trong phần còn lại của bài viết.
  • Trong ký hiệu mũi tên lên Knuth, được biểu diễn dưới dạng hoặc . Trong ký hiệu này, đại diện cho hàm mũ đại diện cho tetration. Phép toán có thể dễ dàng điều chỉnh cho hexation (hyper bậc 6) bằng cách thêm một mũi tên khác.
  • Trong ký hiệu mũi tên xích Conway, .[5]
  • Một ký hiệu đề xuất khác là . Tuy nhiên, điều này không thể mở rộng cho các hyper bậc cao hơn.[6]

Các ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Các giá trị của hàm pentation cũng có thể được lấy từ các giá trị trong hàng thứ tư của bảng giá trị của một biến thể của hàm Ackermann: Nếu được định nghĩa bằng sự tái diễn Ackermann với điều kiện ban đầu . Khi đó, .[7]

Như tetration, cơ số phép toán của nó, chưa được mở rộng đến chiều cao không nguyên, pentation hiện chỉ được xác định cho các giá trị nguyên của ab trong đó a > 0 và b ≥ -1, và một vài giá trị nguyên khác có thể được xác định duy nhất. Như với tất cả các hyper khác ra khỏi bậc 3 (luỹ thừa) và cao hơn, pentation có các trường hợp tầm thường sau đây (đồng nhất) chứa hết tất cả giá trị ab trong miền của nó:

Ngoài ra, chúng ta có thể định nghĩa:

Khác với những trường hợp tầm thường ở trên, pentation tạo ra những số cực kỳ lớn rất nhanh đến nỗi chỉ có một vài trường hợp không tầm thường tạo ra những con số có thể được viết theo ký hiệu thông thường, như minh họa dưới đây:

  • (hiển thị ở đây trong ký hiệu số mũ lặp đi lặp lại vì nó quá lớn để được viết theo ký hiệu thông thường. Ghi chú )
  • (một con số có hơn 10153 chữ số)
  • (một con số hơn 10102184 chữ số)

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Perstein, Millard H. (tháng 6 năm 1962), “Algorithm 93: General Order Arithmetic”, Communications of the ACM, 5 (6): 344, doi:10.1145/367766.368160.
  2. ^ Goodstein, R. L. (1947), “Transfinite ordinals in recursive number theory”, The Journal of Symbolic Logic, 12 (4): 123–129, doi:10.2307/2266486, JSTOR 2266486, MR 0022537.
  3. ^ Knuth, D. E. (1976), “Mathematics and computer science: Coping with finiteness”, Science, 194 (4271): 1235–1242, doi:10.1126/science.194.4271.1235, PMID 17797067.
  4. ^ Blakley, G. R.; Borosh, I. (1979), “Knuth's iterated powers”, Advances in Mathematics, 34 (2): 109–136, doi:10.1016/0001-8708(79)90052-5, MR 0549780.
  5. ^ Conway, John Horton; Guy, Richard (1996), The Book of Numbers, Springer, tr. 61, ISBN 9780387979939.
  6. ^ http://www.tetration.org/Tetration/index.html
  7. ^ Nambiar, K. K. (1995), “Ackermann functions and transfinite ordinals”, Applied Mathematics Letters, 8 (6): 51–53, doi:10.1016/0893-9659(95)00084-4, MR 1368037.