Độc lập tuyến tính

Các vectơ độc lập tuyến tính trong $\mathbb {R} ^{3}.$

Các vectơ phụ thuộc tuyến tính trên một mặt phẳng trong $\mathbb {R} ^{3}.$

Trong đại số tuyến tính, độc lập tuyến tính là một tính chất thể hiện mối liên hệ giữa các vectơ.

Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

• Một hệ các vectơ {v₁,...,v_n} trong không gian vectơ V được gọi là phụ thuộc tuyến tính,

nếu tồn tại các số: k₁,..., k_n không đồng thời bằng 0 sao cho:

k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0.

• hệ các vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi phương trình vectơ:

k₁ v₁ +... + k_n v_n = 0

chỉ có nghiệm duy nhất: k₁ = k₂ =... = k_n = 0

Tính chất

Cho V là không gian vectơ trên trường K:

Phụ thuộc tuyến tính	Độc lập tuyến tính
Mọi tập hợp chứa vectơ 0v đều phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu 0v ∈ S thì S phụ thuộc tuyến tính.	Mọi tập hợp độc lập tuyến tính thì không chứa vectơ 0v, tức là nếu S là tập con độc lập tuyến tính của V thì 0v$\notin$S.
Mọi tập hợp chứa tập con phụ thuộc tuyến tính thì nó phụ thuộc tuyến tính, tức là nếu E $\subset$F và E phụ thuộc tuyến tính thì F phụ thuộc tuyến tính.	Mọi tập con khác rỗng của một tập độc lập tuyến tính thì độc lập tuyến tính. Tức là $\emptyset$ ≠ E $\subset$ F và F độc lập tuyến tính thì E độc lập tuyến tính.
Tập S={u1,u2,...,um} (m≥2) phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại vectơ ui ∈ S sao cho ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.	Tập S ≠ $\emptyset$ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi vectơ bất kỳ u ∈ S đầu không thể là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại trong S.
Mọi tập khác rỗng S $\subset$ V thì hoặc S độc lập tuyến tính hoặc S phụ thuộc tuyến tính.

Ý nghĩa hình học

• Trong không gian các vectơ trên mặt phẳng, hệ gồm hai vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không cùng phương.
• Trong không gian các vectơ hình học 3 chiều, hệ ba vectơ là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Ví dụ

• Hai vectơ (1,2,3,4) và (-3,-6,-9,5) là độc lập tuyến tính.
• (1,2) và (-2,-4) không độc lập tuyến tính vì tồn tại λ₁ = 1 và λ₂ = 2 thỏa mãn λ₁(-2,-4) + λ₂(1,2) = 0.

Độc lập tuyến tính trong không gian ${\mathbb {R} }$ⁿ (hoặc ${\mathbb {C} }$ⁿ)

• Trong không gian Rⁿ một hệ gồm nhiều hơn n vectơ {v₁,...,v_m} luôn là phụ thuộc tuyến tính.
• Nếu hệ các vectơ {v₁,...,v_m} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, thì tập hợp tất cả các vectơ có dạng:

k₁ v₁ +... + k_m v_m

là một không gian con đẳng cấu với R^m.

• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là độc lập tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức khác không (det A ≠ 0).
• Một hệ n vectơ {v₁,...,v_n} là phụ thuộc tuyến tính trong không gian Rⁿ, khi và chỉ khi ma trận lập thành từ các tọa độ của chúng có định thức bằng không (det A = 0).

Xem thêm

• Cơ sở của không gian vectơ
• Đại số tuyến tính