Quy tắc nhân

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Trong giải tích, quy tắc nhân là công thức dùng để tìm các đạo hàm của tích của 2 hay nhiều hàm. Được phát biểu rằng

hoặc phát biểu bằng ký hiệu Leibniz

Theo ký hiệu vi phân, công thức này có thể viết thành

Theo ký hiệu Leibniz, đạo hàm của tích của 3 hàm (đừng nhầm lẫn với Quy tắc nhân 3 của Eucler) là

Sự phát hiện[sửa | sửa mã nguồn]

Người được ghi nhận phát hiện quy tắc này là Gottfried Leibniz, ông đã chứng minh quy tắc nhân bằng các sử dụng vi phân.[1] (Tuy nhiên, còn có lập luận rằng đó là do Isaac Barrow.) Dưới đây là chứng minh của Leibniz: Cho u(x) và v(x) là 2 hàm số khả vi với x. Khi đó vi phân của uv bằng

Do tích du·dv là "không đáng kể" (so với dudv), Leibniz khẳng định rằng

Công thức này là thực chất là dạng vi phân của quy tắc nhân. Nếu chia vi phân dx cho 2 vế, ta có

mà viết lại theo ký hiệu Lagrange

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

  • Giả sử ta muốn tìm vi phân của hàm f(x) = x2 sin(x). Bằng cách quy tác nhân, ta có f(x) = 2x sin(x) + x2 cos(x) (do đạo hàm của x2 là 2x và đạo hàm của sin là hàm cos).
  • Trường hợp đặc biệt của quy tắc nhân là quy tắc nhân với hằng số, được phát biểu rằng: nếu c là một số và f(x) là hàm số khả vi thì cf(x) cũng khả vi, và (cf)(x) = cf(x). Quy tắc này tuân theo quy tắc nhân do đạo hàm của một hằng số chính là 0. Quy tắc nhân với hằng số và quy tắc cộng đối với đạo hàm chứng minh rằng phép lấy vi phân có tính chất tuyến tính.
  • Các quy tắc áp dụng cho tích phân từng phần thực chất là được suy ra từ quy tắc nhân, giống nhứ (một phiên bản rút gọn) của quy tắc chia. (Nó là phiên bản "yếu" do không chứng minh được tính khả vi của thương mà chỉ suy ra đạo hàm nếu hàm khả vi.)

Chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh bằng phân tích nhân tử (dựa trên nguyên tắc đầu tiên)[sửa | sửa mã nguồn]

Tóm tắt chứng minh[sửa | sửa mã nguồn]

Bằng định nghĩa, nếu là khả vi tại thì

sao cho , cũng viết thành . Do đó:

Tìm giới hạn khi cực tiểu cho ta kết quả.

Quy tắc chuỗi[sửa | sửa mã nguồn]

Quy tắc nhân có thể coi là trường hợp đặc biệt của quy tắc chuỗi với nhiều biến.

Giải tích không chuẩn[sửa | sửa mã nguồn]

Giải thích cực tiểu trơn[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng quát hóa[sửa | sửa mã nguồn]

Tích nhiều hơn hai nhân tử[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm cấp cao[sửa | sửa mã nguồn]

Đạo hàm một phần cấp cao[sửa | sửa mã nguồn]

Không gian Banach[sửa | sửa mã nguồn]

Phép lấy đạo hàm trong đại số trừu tượng[sửa | sửa mã nguồn]

Các hàm vector[sửa | sửa mã nguồn]

Trường vô hướng[sửa | sửa mã nguồn]

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Michelle Cirillo (tháng 8 năm 2007). “Humanizing Calculus”. The Mathematics Teacher 101 (1): 23–27. (cần đăng ký mua (trợ giúp)). 

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]