Số đếm lớn

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Buớc tưới chuyển hướng Bước tới tìm kiếm

Trong lĩnh vực toán học của lý thuyết tập hợp, một thuộc tính số đếm lớn là một loại tính chất của số đếm vô hạn. Các số đếm có các tính chất như vậy, như tên gọi, nói chung là rất "lớn" (ví dụ, lớn hơn giá trị nhỏ nhất sao cho α = ωα). Đề xuất rằng các số đếm như vậy tồn tại không thể được chứng minh trong tiên đề phổ biến nhất của lý thuyết tập hợp, cụ thể là ZFC, và các đề xuất đó có thể được xem như là cách đo "bao nhiêu", ngoài ZFC, người ta cần phải giả sử để có thể chứng minh được các kết quả mong muốn. Nói cách khác, chúng có thể được thấy trong cụm từ của Dana Scott, khi định lượng thực tế "rằng nếu bạn muốn nhiều hơn, bạn phải giả định nhiều hơn".[1]

Có một quy ước sơ bộ rằng các kết quả có thể chứng minh được từ một mình ZFC có thể được nêu mà không có giả thuyết, nhưng nếu bằng chứng yêu cầu các giả định khác (chẳng hạn như sự tồn tại của các số đếm lớn), thì cần phải nêu rõ. Cho dù đây chỉ đơn giản là một quy ước ngôn ngữ, hay một cái gì đó nữa, là một điểm gây tranh cãi giữa các trường phái triết học riêng biệt.

Một tiên đề số đếm lớn là một tiên đề nói rằng tồn tại một số đếm (hoặc có nhiều số đếm như vậy) với một số thuộc tính số đếm lớn được chỉ định.

Hầu hết các nhà lý thuyết tập hợp đang hoạt động tin rằng các tiên đề lớn của số đếm hiện đang được xem xét là phù hợp với ZFC. Các tiên đề này đủ mạnh để ám chỉ tính nhất quán của ZFC. Điều này có hậu quả (thông qua định lý không hoàn chỉnh thứ hai của Gôdel) rằng tính nhất quán của chúng với ZFC không thể được chứng minh trong ZFC (giả sử ZFC là nhất quán).

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Bell, J.L. (1985). Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory. Oxford University Press. viii. ISBN 0-19-853241-5.