Số quay

Trong toán học, số quay là một bất biến gắn với một phép đồng phôi của đường tròn.

Định nghĩa

Giả sử f: S ¹ → S ¹ là một phép đồng phôi bảo toàn định hướng của đường tròn S¹=R/Z. Thế thì f có thể được nâng lên thành một phép đồng phôi duy nhất F:R→R của đường thẳng thực, thỏa mãn

$F(x+m)=F(x)+m$

với mọi số thực x và mọi số nguyên m.

Số quay của f được xác định bởi:

$\omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.$

Henri Poincaré đã chứng minh rằng giới hạn này tồn tại và độc lập với sự lựa chọn điểm bắt đầu x. Số quay là một phần tử của R/Z. Một cách trực quan, nó đo góc quay trung bình dọc theo quỹ đạo của f.

Ví dụ

Nếu f là một phép quay với góc 2πθ (trong đó 0≤θ <1), thì

$F(x)=x+\theta ,$

do đó số quay của f là θ.

Tính chất

Số quay là bất biến dưới liên hợp tôpô: nếu f và g là hai phép đồng phôi của đường tròn và

$h\circ f=g\circ h$

với một ánh xạ liên tục đơn điệu h từ đường tròn vào chính nó (không nhất thiết là đồng phôi) thì f và g có cùng số quay.

Số quay được Poincaré và Arnaud Denjoy sử dụng để phân loại các phép đồng phôi của đường tròn. Có hai khả năng:

• Số quay f là số hữu tỷ p/q (phân số tối giản). Khi đó f có quỹ đạo tuần hoàn, mọi quỹ đạo đều có chu kỳ q.
• Số quay của f là một số vô tỷ θ. Thế thì f không có quỹ đạo tuần hoàn. Có hai trường hợp con:

1. Có một quỹ đạo trù mật.
2. Tồn tại một tập hợp Cantor C bất biến dưới tác động của f.

Số quay là một ánh xạ liên tục từ nhóm các phép đồng phôi (với tô pô $C^{0}$) của đường tròn vào đường tròn.

Tham khảo

• M.R. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations, Publ. Math. IHES, 49 (1979) pp. 5–234
• Sebastian van Strien, Rotation Numbers and Poincaré's Theorem (2001)

Liên kết ngoài

• Michał Misiurewicz (ed.). "Rotation theory". Scholarpedia
• Weisstein, Eric W. "Map Winding number" Từ MathWorld - Tài nguyên web Wolfram