Số thứ tự

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm
Hình vẽ minh họa các số thứ tự cho tới ωω. Mỗi vòng xoắn ốc ứng với một lũy thừa của ω

Trong lý thuyết tập hợp, một số thứ tự là một sự tổng quát hóa của số tự nhiên sử dụng để mô tả sự sắp xếp lần lượt. Một lớp hữu hạn các đối tượng luôn có thể được sắp xếp theo thứ tự chỉ bằng quá trình đếm: tức là ta gán với mỗi đối tượng một số tự nhiên riêng, gọi là "nhãn". Các số thứ tự, theo đó, chính là các "nhãn" dùng để sắp xếp một lớp nói chung (có thể vô hạn).

Một số thứ tự được sử dụng để mô tả dạng thứ tự của một tập hợp được sắp thứ tự tốt. Một tập hợp được sắp thứ tự tốt là một tập hợp với một quan hệ > sao cho

  • (Tính tam phân) Với mọi phần tử xy, một và chỉ một trong những khẳng đinh sau là đúng
    • x < y
    • x > y
    • x = y
  • (Tính bắc cầu) Với mọi phần tử x, y, z, nếu x > yy > z thì x > z
  • (Sự tồn tại của phần tử nhỏ nhất) Mọi tập con không rỗng có một phần tử nhỏ nhất (tức là một phần tử x sao cho với mọi phần tử y trong tập con: y>x hoặc y=x).

Hai tập hợp được sắp thứ tự tốt có cùng dạng thứ tự khi và chỉ khi tồn tại một song ánh chuyển quan hệ trong tập thứ nhất thành quan hệ trong tập thứ hai.

Các số thứ tự rất hữu ích cho việc sắp xếp các đối tượng trong một tập hợp, còn các số đếm hữu ích để biết có bao nhiêu đối tượng trong một tập hợp. Sự khác biệt này chỉ thể hiện với các số thứ tự và số đếm vô hạn: các số thứ tự khác nhau có thể có cùng một lực lượng (trong khi đó, hai số thứ tự hữu hạn có cùng lực lượng thì luôn bằng nhau). Giống như các loại số khác, các số thứ tự có thể được cộng, nhân và lũy thừa, tuy nhiên các phép toán này không còn mang tính giao hoán.

Các số thứ tự được Georg Cantor giới thiệu vào năm 1883[1] nhằm mục đích xem xét các chuỗi vô hạn và phân loại các tập hợp dẫn xuất, mà trước đây ông đã giới thiệu vào năm 1872 trong khi nghiên cứu tính duy nhất của các chuỗi lượng giác.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa theo các lớp tương đương[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa ban đầu của các số thứ tự, được tìm thấy trong Principia Mathematica, định nghĩa dạng thứ tự như là lớp tương đương của tất cả các tập hợp được sắp thứ tự tốt đẳng cấu với nhau.

Định nghĩa của Von Neumann[sửa | sửa mã nguồn]

Một vài số thứ tự von Neumann đầu tiên
0 = {} = ∅
1 = {0} = {∅}
2 = {0, 1} = {∅, {∅}}
3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}

Thay vì định nghĩa một số thứ tự như là một lớp tương đương các tập hợp được sắp thứ tự tốt, ta xác định một tập hợp được sắp thứ tự tốt cụ thể đại diện cho lớp ấy. Theo cách định nghĩa này, một số thứ tự là một tập hợp được sắp thứ tự tốt nhất định; và mỗi tập hợp được sắp thứ tự tốt sẽ đẳng cấu thứ tự với một và chỉ một số thứ tự.

Theo John von Neumann, "một số thứ tự là tập hợp được sắp thứ tự tốt của tất cả các số thứ tự nhỏ hơn nó".Tức là λ = [0, λ).[2][3] Chính xác hơn:

Một tập hợp S là một số thứ tự khi và chỉ khi S được sắp thứ tự tốt với quan hệ thứ tự là quan hệ thuộc (phần tử thuộc tập hợp) và mọi phần tử của S cũng là tập con của S.

Theo định nghĩa này, các số tự nhiên là các số thứ tự. Chẳng hạn, 2 là một phần tử của 4 = {0, 1, 2, 3} và 2 bằng {0, 1} và do đó, nó là một tập con của 4 = {0, 1, 2, 3}.

Quy nạp siêu hạn[sửa | sửa mã nguồn]

Quy nạp siêu hạn có thể được dùng với mọi tập hợp được sắp thứ tự tốt, và cũng phù hợp với các số thứ tự.

Giả sử một thuộc tính có thể được chuyển từ tập hợp các số thứ tự nhỏ hơn một số thứ tự α tới α. Thế thì thuộc tính này đúng với tất cả các số thứ tự.

Nghĩa là, nếu P(α) đúng bất cứ khi nào P(β) đúng với mọi β < α, thì P(α) đúng với mọi α. Vậy nên để chứng minh một thuộc tính P cho tất cả các số thứ tự α, ta có thể giả sử rằng nó đúng với mọi β < α.

Cơ sở của phương pháp quy nạp siêu hạn là tiên đề thay thế.[4]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Ghi chú[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ Xem thêm (Levy 1979) và (Jech 2003).
  2. ^ von Neumann 1923
  3. ^ (Levy 1979) ghi công Zermelo cho những công trình không công bố năm 1916 vài bài báo của von Neumann những năm 1920
  4. ^ Hoàng Xuân Sính (1972), tr. 36

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương (tái bản lần thứ tám), 1972, NXB Giáo Dục
  • Jech, Thomas (2013), Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-662-22400-7
  • Levy, A. (2002) [1979], Basic Set Theory, Springer-Verlag, ISBN 0-486-42079-5
  • von Neumann, John (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum, 1: 199–208

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]