Tâm (nhóm)

Bài này nói về khái niệm tâm của một nhóm. Nó không nên bị nhầm lẫn với Nhóm đối xứng tâm.

Trong đại số trừu tượng, tâm của một nhóm G là tập hợp các phần tử giao hoán với mọi phần tử của G. Nó được ký hiệu là Z(G), từ tiếng Đức Zentrum, có nghĩa là trung tâm. Ta có

Z(G) = {z ∈ G ∣ ∀g ∈ G, zg = gz}.

Tâm là một nhóm con chuẩn tắc, Z(G) ⊲ G.

Tính chất

Tâm của G luôn là một nhóm con của G. Tức là:

1. Z(G) chứa phần tử đơn vị của G, bởi vì phần tử đơn vị giao hoán với mọi phần tử g, theo định nghĩa: eg = g = ge, trong đó e là đơn vị;
2. Nếu x và y thuộc Z(G), thì xy cũng vậy, do tính kết hợp: (xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy) với mọi g ∈ G; tức là Z(G) đóng dưới phép toán nhóm;
3. Nếu x thuộc Z(G) thì x⁻¹ cũng thế (gx = xg) ⇒ (x⁻¹gxx⁻¹ = x⁻¹xgx⁻¹) ⇒ (x⁻¹g = gx⁻¹).

Lớp liên hợp và nhóm tâm hóa

Xem thêm: Lớp liên hợp

Xem thêm: Nhóm tâm hóa

Tham khảo

• Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra (ấn bản 7). Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.
• Lathsamivong Kikeo (2011), Tâm và nhóm con giao hoán tử của một số lớp nhóm, Luận văn thạc sĩ toán học