Tứ giác nội tiếp

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
HÌnh 1: Ví dụ về tứ giác nội tiếp.

Trong Hình học phẳng, một tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả 4 đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm đường tròn và bán kính lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếpbán kính ngoại tiếp. Thông thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cugx tồn tại các tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.

Mọi tam giác đều có một đường tròn nội tiếp,nhưng không phải tất cả tứ giác đều nội tiếp. Một ví dụ cho một tứ giác không nội tiếp là một hình bình hành không là hình chữ nhật.

Bài viết sau sẽ chủ yếu sử dụng các ký hiệu của Hình 2.

Trường hợp đặc biệt về một tứ giác nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Mọi hình vuông, hình chữ nhât , hình thang cân đều nội tiếp. Một hình thoi nội tiếp khi và chỉ khi nó có hai góc vuông. Một tứ giác lưỡng tâm là một tứ giác nội tiếp mà cũng ngoại tiếp một đường tròn.

Đặc điểm, tính chất, dấu hiệu nhận biết[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 2: Tứ giác nội tiếp ABCD

Một tứ giác lồi là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi bốn đường trung trực của bốn cạnh đồng quy tại một điểm. Điểm đồng quy này chính là tâm đường tròn nội tiếp.[1]

Tứ giác ABCD đồng quy khi và chỉ khi hai góc đối bù nhau, tức là[1]

Ở đây

Định lý trên được nêu trong bộ Cơ bản của Euclid .[2] Từ đó ta có khẳng định sau: Một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi một góc trong bằng góc kề bù của góc đối đỉnh góc đó .

Một trong các dấu hiệu nhận biết quan trọng khác để tứ giác ABCD nội tiếp là tứ giác có hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh của tứ giác đó[3] Ví dụ như:

Định lý Ptoleme cũng chỉ ra rằng một tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tích hai đường chéo bằng tổng của tích hai cặp cạnh đối, tức là:[4]:p.25

Nếu hai đường thẳng lần lượt chứa hai đoạn thẳng ACBD, cắt nhau tại P, thì A, B, C, D đồng viên khi và chỉ khi:[5]

Giao điểm P có thể nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn. Trong trường hợp nằm trong, tứ giác lồi nội tiếp là ABCD, còn trong trường hợp còn lại, tứ giác nội tiếp là ABDC.

Một dấu hiệu nhận biết khác là tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi:[6]

Diện tích[sửa | sửa mã nguồn]

Diện tích S của tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d được cho bởi công thức Brahmagupta:[4]:p.24

trong đó p là nửa chu vi tứ giác hay p = 1/2(a + b + c + d). Đây là hệ quả của công thức Bretschneider cho một tứ giác bất kỳ. Nếu d = 0, tứ giác sẽ trở thành một tam giác và công thức trên được rút gọn về công thức Heron.

Tứ giác nội tiếp có diện tích lớn nhất trong các tứ giác có các cạnh tương ứng bằng nhau. Đây cũng là một hệ quả được rút ra từ công thức Bretschneider.[7]

Với bốn số đo cạnh khác nhau, mỗi số nhỏ hơn tổng ba số còn lại, là độ dài các cạnh của ba tứ giác nội tiếp khác nhau,[8] mà theo công thức Brahmagupta, tất cả đều có cùng diện tích. Trong đó, với bốn cạnh a, b, c, d, cạnh a có thể là cạnh đối của một trong ba cạnh còn lại b, c, d.

Diện tích của tứ giác nội tiếp với các cạnh a, b, c, d , cạnh a đối cạnh c, cạnh b đối cạnh d và góc trong B tạo bởi hai cạnh ab; cũng có thể biểu diễn dưới dạng:[4]:p.25

hay[4]:p.26

với θ là góc tạo bởi hai đường chéo của tứ giác. Nếu góc trong A bất kỳ không là góc vuông, diện tích của tứ giác là:[4]:p.26

trong đó ad là hai cạnh kề góc A.

Một công thức khác đó là[9]:p.83

trong đó R là bán kính đường tròn nội tiếp. Từ đó có kết quả:[10]

tại đó dấu bằng xảy ra khi tứ giác là hình vuông.

Đường chéo tứ giác[sửa | sửa mã nguồn]

Trong một tứ giác nội tiếp có bốn đỉnh A, B, C, D và cạnh a = AB, b = BC, c = CD, d = DA, độ dài đường chéo p = ACq = BD có thể được cho bởi công thức[4]:p.25,[11][12]:p. 84

and

Tích hai đường chéo được xác định bởi định lý Ptolemy:

Cũng theo định lý Ptolemy thứ hai thì[4]:p.25,[11]

Với tổng hai đường chéo ta có bất đẳng thức[13]

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 đường chéo có độ dài bằng nhau, bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng bất đẳng thức AM-GM.

Từ bất đẳng thức trên ta có kết quả:[14]:p.64,#1639

Với mọi tứ giác lồi, hai đường chéo cắt nhau chia tứ giác thành bốn tam giác. Trong tứ giác nội tiếp, cặp hai tam giác đối nhau qua giao hai đường chéo đồng dạng với nhau.

Nếu MN lần lượt là trung điểm hai đường chéo ACBD thì[15]

trong đó EF lần lượt là giao điểm hai cặp cạnh đối của tứ giác.

Nếu tứ giác ABCD nội tiếp với AC cắt BD tại E, thì[16]

Với một bộ bốn cạnh là bốn cạnh một tứ giác nội tiếp, có thể thay đổi thứ tự các cạnh theo một trật tự bất kỳ. Khi đó có thể tạo ra một trong hai tứ giác nội tiếp khác nhau và khác tứ giác ban đầu. Cả ba tứ giác đều có diện tích bằng nhau do tính chất công thức Brahmagupta, đều nội tiếp cùng một đường tròn, và bất cứ hai trong ba tứ giác đều có một cặp hai đường chéo bằng nhau.[12]:p. 84

Công thức các góc và liên hệ giữa các góc trong tứ giác[sửa | sửa mã nguồn]

Với một tứ giác nội tiếp có bốn cạnh a, b, c, d, nửa chu vi s, và góc A nằm giũa hai cạnh ad, ta có các công thức lượng giác sau đây:[17]

Góc θ tạo bởi hai đường chéo được xác định bởi:[4]:p.26

Nếu đường thẳng chứa 2 cạnh ac cắt nhau tao thành góc φ, thì:[4]:p.31

Công thức Parameshvara về bán kính đường tròn nội tiếp[sửa | sửa mã nguồn]

Một tứ giác nội tiếp có các cạnh a, b, c, d và nửa chu vi s; có độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp xác định bởi: [11][18]

Công thức được tìm ra vào thế kỷ XV bởi nhà toán học Ấn Độ Vatasseri Parameshvara.

Sử dụng công thức Brahmagupta, công thức Parameshvara có thể được phát biểu lại là:

trong đó K là diện tích tứ giác nội tiếp.

Các tính chất, định lý khác[sửa | sửa mã nguồn]

Hình 3: ĐỊnh lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp
  • Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, các tâm đường tròn nội tiếp M1, M2, M3, M4 (xem Hình 3) của các tam giác DAB, ABC, BCD, and CDA là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Đây là phát biểu của định lý Nhật Bản về tứ giác nội tiếp. Ngoài ra, các trực tâm của bốn tam giác trên là đỉnh của một tứ giác nội tiếp đồng dạng với tứ giác ABCD, và các trọng tâm của bốn tam giác này cũng tạọ nên một tứ giác nội tiếp.[3]
  • Trong một tứ giác nội tiếp ABCD với tâm ngoại tiếp O, gọi P là gao điểm của ACBD. Ta có số đo góc APB là trung bình cộng của số đo hai góc AOBCOD. Đây là một kết quả trực tiếp suy ra từ đinh lý góc trongđịnh lý góc ngoài[19].
  • Không tồn tại một tứ giác nội tiếp có diện tích và số đo bốn cạnh khác nhau đều là số hữu tỉ.[20].
  • Nếu hai cặp cạnh đối của tứ giác cắt nhau tại EF, thì tia phân giác của hai góc trong có đỉnh EF là vuông góc với nhau .[8]

Brahmagupta quadrilaterals[sửa | sửa mã nguồn]

A Brahmagupta quadrilateral[21] is a cyclic quadrilateral with integer sides, integer diagonals, and integer area. All Brahmagupta quadrilaterals with sides a, b, c, d, diagonals e, f, area K, and circumradius R can be obtained by clearing denominators from the following expressions involving rational parameters t, u, and v:

Orthodiagonal case[sửa | sửa mã nguồn]

Circumradius and area[sửa | sửa mã nguồn]

For a cyclic quadrilateral that is also orthodiagonal (has perpendicular diagonals), suppose the intersection of the diagonals divides one diagonal into segments of lengths p1 and p2 and divides the other diagonal into segments of lengths q1 and q2. Then[22] (the first equality is Proposition 11 in Archimedes' Book of Lemmas)

where D is the diameter of the circumcircle. This holds because the diagonals are perpendicular chords of a circle. These equations imply that the circumradius R can be expressed as

or, in terms of the sides of the quadrilateral, as

It also follows that

Thus, according to Euler's quadrilateral theorem, the circumradius can be expressed in terms of the diagonals p and q, and the distance x between the midpoints of the diagonals as

A formula for the area K of a cyclic orthodiagonal quadrilateral in terms of the four sides is obtained directly when combining Ptolemy's theorem and the formula for the area of an orthodiagonal quadrilateral. The result is

Other properties[sửa | sửa mã nguồn]

  • In a cyclic orthodiagonal quadrilateral, the anticenter coincides with the point where the diagonals intersect.[23]
  • Brahmagupta's theorem states that for a cyclic quadrilateral that is also orthodiagonal, the perpendicular from any side through the point of intersection of the diagonals bisects the opposite side.[23]
  • If a cyclic quadrilateral is also orthodiagonal, the distance from the circumcenter to any side equals half the length of the opposite side.[23]
  • In a cyclic orthodiagonal quadrilateral, the distance between the midpoints of the diagonals equals the distance between the circumcenter and the point where the diagonals intersect.[23]

Cyclic spherical quadrilaterals[sửa | sửa mã nguồn]

A spherical quadrilateral is cyclic if and only if the summations of the opposite sides are equal, i.e. α + γ = β + δ for consecutive sides α, β, γ, δ of the quadrilateral. One direction of this theorem was proved by I. A. Lexell in 1786. Lexell[24] showed that in a spherical quadrilateral inscribed in a small circle of a sphere the sums of opposite angles are equal, and that in the circumscribed quadrilateral the sums of opposite sides are equal. The first of these theorems is the spherical analogue of a plane theorem, and the second theorem is its dual, that is, the result of interchanging great circles and their poles.[25] Kiper et al.[26] proved the converse of the theorem: If the summations of the opposite sides are equal in a spherical quadrilateral, then there exists an inscribing circle for this quadrilateral.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Định lý con bướm
  • Đa giác nội tiếp

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ a ă Usiskin, Zalman; Griffin, Jennifer; Witonsky, David; Willmore, Edwin (2008), “10. Cyclic quadrilaterals”, The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition, Research in mathematics education, IAP, tr. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8 
  2. ^ Joyce, D. E. (tháng 6 năm 1997), “Book 3, Proposition 22”, Euclid's Elements, Clark University 
  3. ^ a ă Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), “2.3 Cyclic quads”, Mathematical Olympiad Treasures, Springer, tr. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, MR 2025063 
  4. ^ a ă â b c d đ e ê Durell, C. V.; Robson, A. (2003) [1930], Advanced Trigonometry, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 
  5. ^ Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, tr. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422 
  6. ^ Hajja, Mowaffaq (2008), “A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic” (PDF), Forum Geometricorum 8: 103–6 
  7. ^ Peter, Thomas (tháng 9 năm 2003), “Maximizing the area of a quadrilateral”, The College Mathematics Journal 34 (4): 315–6, JSTOR 3595770 
  8. ^ a ă Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. (1967), “3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula”, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, tr. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2 
  9. ^ Prasolov, Viktor, Problems in plane and solid geometry: v.1 Plane Geometry (PDF) 
  10. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2009), “4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals”, When Less is More: Visualizing Basic Inequalities, Mathematical Association of America, tr. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 
  11. ^ a ă â Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), “On the diagonals of a cyclic quadrilateral” (PDF), Forum Geometricorum 7: 147–9 
  12. ^ a ă Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
  13. ^ Inequalities proposed in Crux Mathematicorum, 2007, Problem 2975, p. 123
  14. ^ Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum", [1].
  15. ^ ABCD is a cyclic quadrilateral. Let M, N be midpoints of diagonals AC, BD respectively...”. Art of Problem Solving. 2010. 
  16. ^ A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2], Accessed 18 March 2014.
  17. ^ Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, tr. 202, OCLC 429528983 
  18. ^ Hoehn, Larry (tháng 3 năm 2000), “Circumradius of a cyclic quadrilateral”, Mathematical Gazette 84 (499): 69–70, JSTOR 3621477 
  19. ^ "Cyclic quadrilateral" trên wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral
  20. ^ Buchholz, R. H.; MacDougall, J. A. (1999), “Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression”, Bulletin of the Australian Mathematical Society 59 (2): 263–9, MR 1680787, doi:10.1017/S0004972700032883 
  21. ^ Sastry, K.R.S. (2002). “Brahmagupta quadrilaterals” (PDF). Forum Geometricorum 2: 167–173. 
  22. ^ Posamentier, Alfred S.; Salkind, Charles T. (1970), “Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.”, Challenging Problems in Geometry (ấn bản 2), Courier Dover, tr. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1 
  23. ^ a ă â b Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (ấn bản 2), Courier Dover, tr. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045 
  24. ^ Lexell, A. J. (1786). “De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum”. Acta Acad. sci. Petropol. 6 (1): 58–103. 
  25. ^ Rosenfeld, B. A. A History of Non-Euclidean Geometry - Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8680-1. 
  26. ^ Kiper, Gökhan; Söylemez, Eres (1 tháng 5 năm 2012). “Homothetic Jitterbug-like linkages”. Mechanism and Machine Theory 51: 145–158. doi:10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014. 

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]