Thành viên:TrunghaiTĐN/Chỗ thử

Đừng nhầm lẫn với oval.

Một hình elip (đỏ) bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng

Các thành phần của hình elip

Các hình elip với tâm sai tăng dần

Trong toán học, một hình elíp là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Đường tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai e của nó, chạy từ e = 0 (trường hợp của đường tròn) đến e = 1 (độ dẹt vô hạn, không còn là elíp mà là một parabol).

Phương trình chính tắc của một elíp với tâm là gốc tọa độ và chiều dài 2a và chiều rộng 2b là:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Giả sử a ≥ b, các tiêu điểm có tọa độ (±c, 0) với $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$. Phương trình tham số của elíp là:

$(x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\qquad \quad 0\leq t\leq 2\pi .$

Elíp là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elíp có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn#Mặt cắt cũng có hình elíp.

Một hình elíp cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elíp gọi là đường chuẩn: elíp là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elíp được tạo thành:

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$.

Hình elíp rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elíp với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trời – hành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elíp là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elíp cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elíp của ánh sáng trong quang học.

Từ nguyên

Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: ellipse), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: ἔλλειψις (élleipsis, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển Conics của ông.

Định nghĩa quỹ tích

Elíp định nghĩa bằng tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm

Elíp định nghĩa bằng tiêu điểm và đường tròn chuẩn

Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:

Với hai điểm cố định F₁, F₂ gọi là tiêu điểm và một khoảng cách 2a lớn hơn khoảng cách giữa hai tiêu điểm, đường elíp là quỹ tích các điểm P sao cho tổng các khoảng cách | PF₁ |, | PF₂ | bằng 2a. Tức là

$E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\right\}.$

Trung điểm C của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là tâm của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là trục lớn, và đường vuông góc với nó đi qua tâm là trục bé. Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các đỉnh của elíp. Độ dài đoạn thẳng F₁F₂ = 2c được gọi là tiêu cự, và c là bán tiêu cự. Tỉ số e = c / a được gọi là độ lệch tâm hay tâm sai.

Trường hợp F₁ ≡ F₂ cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của elíp.

Phương trình | PF₁ | + | PF₂ | = 2a có thể được xem theo cách khác:

Nếu c₂ là đường tròn với tâm là F₂ và bán kính 2a thì quỹ tích các điểm P có khoảng cách đến đường tròn c₂ bằng khoảng cách đến tiêu điểm F₁ tạo thành một đường elíp:

$E=\left\{P\in \mathbb {R} ^{2}:\,|PF_{1}|=|Pc_{2}|\right\}.$

Đường tròn c₂ gọi là đường tròn chuẩn (với tâm là tiêu điểm F₂) của elíp. Tính chất này không nên nhầm lẫn với định nghĩa của elíp sử dụng đường chuẩn ở dưới.

Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.

Hệ tọa độ Descartes

Các tham số của hình elíp

• a: bán trục lớn,
• b: bán trục bé,
• c: bán tiêu cự,
• p: bán trục bên (thường ký hiệu ℓ)

Phương trình chính tắc

Trong suốt phần còn lại của bài, (E) là elíp trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục x và

tiêu điểm là F₁ = (c, 0), F₂ = (−c, 0),

các đỉnh là V₁ = (a, 0), V₂ = (−a, 0),

trong đó a > c.

Với một điểm có tọa độ (x, y) nằm trên elíp (E), bán kính qua tiêu điểm (c, 0) là ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}$ và bán kính qua tiêu điểm còn lại là ${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$. Do điểm (x, y) nằm trên elíp nên

${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a.$

Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ b² = a² − c² cho ta phương trình chính tắc của elíp (E):

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

(1)

Giải tìm y, ta được

$y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.$

Chiều rộng và chiều cao a, b được gọi là bán trục lớn và bán trục bé của elíp. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của (x, y) lần lượt là a + ex và a − ex.

Từ phương trình này dễ thấy hình elíp đối xứng qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.

Chứng minh phương trình chính tắc

Từ phương trình tổng khoảng cách ${\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=2a$ Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được $(x-c)^{2}+y^{2}=4a^{2}+(x+c)^{2}+y^{2}-4a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ Rút gọn phương trình trên cho ta ${\begin{aligned}a^{2}+cx&=a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\\\left(a^{2}+cx\right)^{2}&=a^{2}\left[(x+c)^{2}+y^{2}\right]\\\end{aligned}}$ Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được: $a^{2}(a^{2}-c^{2})=(a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}$ Đặt b2 = a2 − c2 rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta (ab)2, ta được phương trình chính tắc của elíp: ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,$

Bán trục lớn và bé

Trong suốt bài viết này, a sẽ là bán trục lớn còn b là bán trục bé, tức a ≥ b > 0. Trong dạng chính tắc của elíp (1), nếu a < b thì elíp sẽ dài chứ không dẹt.

Bán tiêu cự

Bán tiêu cự c là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: $c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

Độ lệch tâm

Độ lệch tâm hay tâm sai e là

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}$,

với điều kiện a > b. Một elíp với hai trục bằng nhau (a = b) có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.

Bán trục bên

Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là trục bên (tiếng Anh: latus rectum). Một nửa độ dài đó là bán trục bên, thường được ký hiệu là ℓ và bằng

$\ell ={\frac {b^{2}}{a}}=a\left(1-e^{2}\right).$

Bán trục bên ℓ bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.

Tiếp tuyến

Một đường thẳng d tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là cát tuyến, tại 1 điểm là tiếp tuyến. Tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm (x₁, y₁) có phương trình tọa độ là:

${\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}y=1.$

Phương trình tham số của tiếp tuyến này là:

${\begin{cases}x=x_{1}-y_{1}a^{2}t\\y=y_{1}+x_{1}b^{2}t\end{cases}}\,(t\in \mathbb {R} )$

Hoặc viết theo dạng vectơ thì:

${\vec {d}}=(x_{1},y_{1})+t(-y_{1}a^{2},x_{1}b^{2}).$

Nếu hai điểm trên elíp (x₁, y₁) và (x₂, y₂) thỏa ${\textstyle {\frac {x_{1}x_{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y_{1}v}{b^{2}}}=0}$, thì chúng nằm trên hai đường kính liên hợp (xem ở dưới). Nếu a = b, elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".

Chứng minh

Xét điểm (x1, y1) nằm trên elíp (E) và ${\textstyle {\vec {d}}=(x_{1},y_{1})+t(u,v)}$ là phương trình đường thẳng g bất kỳ đi qua (x1, y1). Như vậy một điểm P nằm trên đường thẳng g có tọa độ (x1 + tu, y1 + tv). Giả sử điểm P cũng nằm trên elíp (E). Thay tọa độ của P vào phương trình chính tắc của elíp (1), ta được ${\begin{aligned}{\frac {\left(x_{1}+tu\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y_{1}+tv\right)^{2}}{b^{2}}}&=1\\\Rightarrow 2t\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)+t^{2}\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)&=0\end{aligned}}$ Đến đây ta có hai trường hợp: ${\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v=0.$ Tức t = 0, hay P chính là (x1, y1). Nói cách khác, đường thẳng g chỉ cắt elíp tại một điểm duy nhất là (x1, y1), tức g là tiếp tuyến tại đó. Vectơ pháp tuyến của g là ${\begin{pmatrix}{\frac {x_{1}}{a^{2}}},{\frac {y_{1}}{b^{2}}}\end{pmatrix}}$, do đó phương trình tiếp tuyến là ${\textstyle {\frac {x_{1}}{a^{2}}}x+{\tfrac {y_{1}}{b^{2}}}y=k}$ với một số k nào đó. Vì (x1, y1) nằm trên tiếp tuyến đó, thế vào ta được k = 1. ${\frac {x_{1}}{a^{2}}}u+{\frac {y_{1}}{b^{2}}}v\neq 0.$ Khi ấy đường thẳng g cắt elíp tại hai điểm, tương ứng với $t=0$ và $t=-2\left({\frac {x_{1}u}{a^{2}}}+{\frac {y_{1}v}{b^{2}}}\right)\left({\frac {u^{2}}{a^{2}}}+{\frac {v^{2}}{b^{2}}}\right)^{-1}.$ Tức g là cát tuyến qua elíp (E).

Tâm khác gốc tọa độ

Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại $\left(x_{0},\,y_{0}\right)$ thì phương trình chính tắc của nó là:

${\frac {\left(x-x_{0}\right)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {\left(y-y_{0}\right)^{2}}{b^{2}}}=1\ .$

Các trục của elíp vẫn song song với trục x và y.

Elíp tổng quát

Bài chi tiết: Biểu diễn ma trận của các đường conic

Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm $(X,\,Y)$ trên mặt phẳng Descartes thỏa mãn phương trình ẩn

$AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0$

(2)

với điều kiện $B^{2}-4AC<0.$

Để phân biệt với trường hợp suy biến, đặt ∆ là định thức

$\Delta ={\begin{vmatrix}A&{\frac {1}{2}}B&{\frac {1}{2}}D\\{\frac {1}{2}}B&C&{\frac {1}{2}}E\\{\frac {1}{2}}D&{\frac {1}{2}}E&F\end{vmatrix}}=\left(AC-{\frac {B^{2}}{4}}\right)F+{\frac {BED}{4}}-{\frac {CD^{2}}{4}}-{\frac {AE^{2}}{4}}.$

Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức (2) có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi C∆ < 0. Nếu C∆ > 0, phương trình không có nghiệm thực, và nếu ∆ = 0, elíp suy biến thành một điểm.

Nếu một elíp có bán trục lớn a, bán trục bé b, tọa độ của tâm là (x₀, y₀), và góc quay ϕ (góc giữa trục x dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình (2) là:

${\begin{aligned}A&=a^{2}(\sin \phi )^{2}+b^{2}(\cos \phi )^{2}\\B&=\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin 2\phi \\C&=a^{2}(\cos \phi )^{2}+b^{2}(\sin \phi )^{2}\\D&=-2Ax_{0}-By_{0}\\E&=-Bx_{0}-2Cy_{0}\\F&=Ax_{0}^{2}+Bx_{0}y_{0}+Cy_{0}^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}$

Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ bằng phép biến đổi afin của tọa độ:

${\begin{aligned}x&=\ \left(X-x_{0}\right)\cos \phi +\left(Y-y_{0}\right)\sin \phi \\y&=-\left(X-x_{0}\right)\sin \phi +\left(Y-y_{0}\right)\cos \phi .\end{aligned}}$

Ngược lại, từ phương trình tổng quát (2) ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:

${\begin{aligned}a,b&={\frac {-{\sqrt {-2\Delta \left(\left(A+C\right)\pm {\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}\right)}}}{B^{2}-4AC}}\\x_{0}&={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]y_{0}&={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}\\[3pt]\phi &={\begin{cases}\arctan \left({\dfrac {1}{B}}\left(C-A-{\sqrt {\left(A-C\right)^{2}+B^{2}}}\right)\right)&\quad B\neq 0\\0&\quad B=0,\ A<C\\90^{\circ }&\quad B=0,\ A>C\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Biểu diễn tham số

Quỹ tích các điểm theo phương trình tham số và ý nghĩa của tham số t, được Philippe de la Hire đưa ra

Các điểm trên elíp tính bằng biểu diễn hữu tỉ với các tham số cách đều nhau (u = 0.2).

Biểu diễn tham số chính tắc

Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ là:

${\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}\quad 0\leq t<2\pi .$

Tham số t (gọi là dị thường lệch tâm trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm (x(t), y(t)) với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem Vẽ elíp ở dưới).

Biểu diễn hữu tỉ

Bằng phép đổi biến ${\textstyle u=\tan \left({\frac {t}{2}}\right)}$, ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác:

$\cos t={\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\ ,\quad \sin t={\frac {2u}{u^{2}+1}}$

và phương trình tham số hữu tỉ của hình elíp

${\begin{aligned}x(u)&=a{\frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\\y(u)&={\frac {2bu}{u^{2}+1}}\end{aligned}}\;,\quad u\in \mathbb {R} .$

Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc ${\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ ngoại trừ đỉnh trái $(-a,0).$

Với $u\in [0,1]$, công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi u tăng dần. Đỉnh bên trái (−a, 0) là giới hạn $\lim _{u\to \pm \infty }(x(u),\,y(u)).$

Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).

Độ dốc tiếp tuyến làm tham số

Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc m của tiếp tuyến tại điểm (a cos t, b sin t). Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là:

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {dy/dt}{dx/dt}}={\frac {b\cos t}{-a\sin t}}\\\Rightarrow m&=-{\frac {b}{a}}\cot t\Rightarrow \cot t=-{\frac {ma}{b}}\end{aligned}}$

Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được:

$\cos t={\frac {\cot t}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {-ma}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\ ,\quad \sin t={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\cot ^{2}t}}}}={\frac {b}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}.$

Thay các biểu thức trên cho cos t và sin t trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được:

${\begin{cases}x={\dfrac {-ma^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\\y={\dfrac {b^{2}}{\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}}}\end{cases}}\qquad m\in \mathbb {R} .$

Ở đây m là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm (x, y) thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải (±a, 0) không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x(m), y(m)) có dạng y = mx + n. Hệ số tự do n có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta:

$y=mx\pm {\sqrt {m^{2}a^{2}+b^{2}}}\;.$

Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.

Elíp tổng quát

Elíp tổng quát dưới dạng ảnh afin của đường tròn đơn vị

Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là:

Một elíp bất kỳ là ảnh của một phép biến đổi afin của đường tròn đơn vị với phương trình $x^{2}+y^{2}=1$.

Biểu diễn tham số

Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng ${\vec {x}}\mapsto {\vec {f}}\!_{0}+A{\vec {x}}$, trong đó A là một ma trận (với định thức khác không) và ${\vec {f}}\!_{0}$ là một vectơ bất kỳ. Nếu ${\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ là các vectơ cột của ma trận A, đường tròn đơn vị (cos(t), sin(t)), trong đó 0 ≤ t ≤ 2π, biến thành hình elíp:

${\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}\!_{0}+{\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\ .$

Ở đây ${\vec {f}}\!_{0}$ là tâm và ${\vec {f}}\!_{1},\;{\vec {f}}\!_{2}$ là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.

Đỉnh

Bốn đỉnh của elíp là ${\vec {p}}\left(t_{0}+k{\tfrac {\pi }{2}}\right),\,k=0,1,2,3$, trong đó tham số t₀ là nghiệm của:

$\cot(2t_{0})={\frac {{\vec {f}}\!_{1}^{\,2}-{\vec {f}}\!_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}}}.$

(Nếu ${\vec {f}}\!_{1}\cdot {\vec {f}}\!_{2}=0$, thì t₀ = 0.) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm ${\vec {p}}(t)$ is:

${\vec {p}}\,'(t)=-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\ .$

Tại đỉnh của với tham số t = t₀, tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó:

$0={\vec {p}}\,'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}\!_{0}\right)=\left(-{\vec {f}}\!_{1}\sin t+{\vec {f}}\!_{2}\cos t\right)\cdot \left({\vec {f}}\!_{1}\cos t+{\vec {f}}\!_{2}\sin t\right).$

Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác cos² t − sin² t = cos 2t, 2sin t cos t = sin 2t cho ta phương trình trên.

Phương trình ẩn

Giải phương trình tham số cho cos t, sin t và để ý rằng cos² t + sin² t = 1, ta được phương trình ẩn

$\det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}+\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})^{2}=0$.

Elíp trong không gian

Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho ${\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}$ là các vectơ trong không gian.

Dạng cực

Dạng cực đối với tâm

Tọa độ cực với gốc đặt tại tâm elíp.

Trong hệ tọa độ cực, với gốc tọa độ là tâm của elíp và với tọa độ góc θ tính từ bán trục lớn, phương trình elíp là

$r(\theta )={\frac {ab}{\sqrt {(b\cos \theta )^{2}+(a\sin \theta )^{2}}}}={\frac {b}{\sqrt {1-(e\cos \theta )^{2}}}}$

Dạng cực đối với tiêu điểm

Tọa độ cực với gốc đặt tại tiêu điểm.

Nếu ta dùng tọa độ cực với gốc đặt tại một trong hai tiêu điểm, và tọa độ góc θ tính từ bán trục lớn, phương trình của elíp khi ấy là

$r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1\pm e\cos \theta }}$

trong đó dấu ở mẫu là âm nếu chiều của θ = 0 chỉ về tâm elíp, và dương nếu chiều đó chỉ ra xa tâm elíp.

Trong trường hợp tổng quát hơn, với elíp có một tiêu điểm ở gốc tọa độ và tiêu điểm còn lại ở tọa độ góc là φ, phương trình dạng cực là:

$r={\frac {a(1-e^{2})}{1-e\cos(\theta -\phi )}}.$

Góc θ trong những công thức này được gọi là dị thường thực của điểm đang xét. Tử số $\ell =a(1-e^{2})$ là bán trục bên.

Eccentricity and the directrix property

Ellipse: directrix property

Each of the two lines parallel to the minor axis, and at a distance of $d={\frac {a^{2}}{c}}={\frac {a}{e}}$ from it, is called a directrix of the ellipse (see diagram).

For an arbitrary point $P$ of the ellipse, the quotient of the distance to one focus and to the corresponding directrix (see diagram) is equal to the eccentricity:

${\frac {\left|PF_{1}\right|}{\left|Pl_{1}\right|}}={\frac {\left|PF_{2}\right|}{\left|Pl_{2}\right|}}=e={\frac {c}{a}}\ .$

The proof for the pair $F_{1},l_{1}$ follows from the fact that $\left|PF_{1}\right|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ \left|Pl_{1}\right|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}$ and $y^{2}=b^{2}-{\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}$ satisfy the equation

$\left|PF_{1}\right|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}\left|Pl_{1}\right|^{2}=0\ .$

The second case is proven analogously.

The converse is also true and can be used to define an ellipse (in a manner similar to the definition of a parabola):

For any point $F$ (focus), any line $l$ (directrix) not through $F$, and any real number $e$ with $0<e<1,$ the ellipse is the locus of points for which the quotient of the distances to the point and to the line is $e,$ that is:

$E=\left\{P\ \left|\ {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right.\right\}.$

The choice $e=0$, which is the eccentricity of a circle, is not allowed in this context. One may consider the directrix of a circle to be the line at infinity.

(The choice $e=1$ yields a parabola, and if $e>1$, a hyperbola.)

Pencil of conics with a common vertex and common semi-latus rectum

Proof

Let $F=(f,\,0),\ e>0$, and assume $(0,\,0)$ is a point on the curve. The directrix $l$ has equation $x=-{\tfrac {f}{e}}$. With $P=(x,\,y)$, the relation $|PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}$ produces the equations

$(x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\frac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}$ and $x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2xf(1+e)-y^{2}=0.$

The substitution $p=f(1+e)$ yields

$x^{2}\left(e^{2}-1\right)+2px-y^{2}=0.$

This is the equation of an ellipse ($e<1$), or a parabola ($e=1$), or a hyperbola ($e>1$). All of these non-degenerate conics have, in common, the origin as a vertex (see diagram).

If $e<1$, introduce new parameters $a,\,b$ so that $1-e^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}$, and then the equation above becomes

${\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,$

which is the equation of an ellipse with center $(a,\,0)$, the x-axis as major axis, and the major/minor semi axis $a,\,b$.

General ellipse

If the focus is $F=\left(f_{1},\,f_{2}\right)$ and the directrix $ux+vy+w=0$, one obtains the equation

$\left(x-f_{1}\right)^{2}+\left(y-f_{2}\right)^{2}=e^{2}{\frac {\left(ux+vy+w\right)^{2}}{u^{2}+v^{2}}}\ .$

(The right side of the equation uses the Hesse normal form of a line to calculate the distance $|Pl|$.)

Focus-to-focus reflection property

Ellipse: the tangent bisects the supplementary angle of the angle between the lines to the foci.

Rays from one focus reflect off the ellipse to pass through the other focus.

An ellipse possesses the following property:

The normal at a point $P$ bisects the angle between the lines ${\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}$.

Proof

Because the tangent is perpendicular to the normal, the statement is true for the tangent and the supplementary angle of the angle between the lines to the foci (see diagram), too.

Let $L$ be the point on the line ${\overline {PF_{2}}}$ with the distance $2a$ to the focus $F_{2}$, $a$ is the semi-major axis of the ellipse. Let line $w$ be the bisector of the supplementary angle to the angle between the lines ${\overline {PF_{1}}},\,{\overline {PF_{2}}}$. In order to prove that $w$ is the tangent line at point $P$, one checks that any point $Q$ on line $w$ which is different from $P$ cannot be on the ellipse. Hence $w$ has only point $P$ in common with the ellipse and is, therefore, the tangent at point $P$.

From the diagram and the triangle inequality one recognizes that $2a=\left|LF_{2}\right|<\left|QF_{2}\right|+\left|QL\right|=\left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|$ holds, which means: $\left|QF_{2}\right|+\left|QF_{1}\right|>2a$. But if $Q$ is a point of the ellipse, the sum should be $2a$.

Application

The rays from one focus are reflected by the ellipse to the second focus. This property has optical and acoustic applications similar to the reflective property of a parabola (see whispering gallery).