Thặng dư (giải tích phức)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới điều hướng Bước tới tìm kiếm

Trong toán học, cụ thể hơn là trong giải tích phức, thặng là một số phức tỷ lệ với tích phân đường của hàm phân hình dọc theo một đường cong kín bao quanh một điểm kỳ dị của nó.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Thặng dư của hàm phân hình tại một điểm kỳ dị , thường được ký hiệu hoặc , là

  • giá trị , với là một đường cong kín định hướng dương bao quanh một điểm kì dị duy nhất sao cho winding number bằng .
  • cũng là giá trị duy nhất sao cho có một nguyên hàm giải tích trong một đĩa bị thủng .
  • cũng là giá trị hệ số a-1 của khai triển Laurent của hàm tại điểm .

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Thặng dư của một đơn thức[sửa | sửa mã nguồn]

Tính thặng dư của đơn thức qua tích phân

với là đường tròn định hướng dương có bán kính . Sử dụng phép đổi biến ta có

Do đó thặng dư của đơn thức bằng nếu , và bằng nếu .

Kỳ dị bỏ được[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu hàm f có thể thác triển thành một hàm chỉnh hình trên toàn bộ đĩa thì Res(fc) = 0. Điều ngược lại không đúng: ví dụ hàm có thặng dự tại bằng .

Cực điểm đơn[sửa | sửa mã nguồn]

Tại một cực điểm đơn c, thặng dư của hàm f thỏa mãn

Cực điểm cấp cao[sửa | sửa mã nguồn]

Tổng quát hơn, nếu c là một cực cấp n, thặng dư của f quanh z = c có thể được tính theo công thức:

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill.
  • Marsden, Jerrold E.; Hoffman, Michael J. (1998). Basic Complex Analysis (ấn bản 3). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-2877-1.

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]