Hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai là hàm số có dạng $ax^{2}+bx+c=y$ trong đó $a,b,c$ là các hằng số và ${\displaystyle (a\neq 0)}$. Hệ số hoàn toàn có thể ở y. x và y lần lượt là các biến.

Tức là hàm số bậc hai chỉ cần đạt 2 điều kiện là có bậc cao nhất là 2 và có ít nhất 1 hệ số khác 0.

Trường hợp có 2 biến x và y, hàm số có dạng

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f$

khi đó nó cùng với hàm chuẩn mẫu tạo trên hệ trục tọa độ những hình cônic (parabol, elip, tròn hoặc hyperbol)

Nguồn gốc tên

Từ bậc hai xuất phát từ tiếng Latin từ quadrātum (hình vuông). Một thuật ngữ như x² được gọi là một hình vuông trong đại số bởi vì nó là diện tích của một hình vuông với cạnh x .

Nói chung, một tiền tố quadr chỉ ra số 4. Ví dụ là tứ giác và góc tọa độ. Quadratum là chữ Latin, nghĩa là vuông. Nó cùng họ với từ quadrilateral tức là tứ giác. [1]

Thuật ngữ

Hệ số

Các hệ số của một đa thức thường được coi là số thực hoặc số phức. Riêng số phức có thể đề cập trong Giải tích phức và biểu diễn được trên hệ trục tọa độ.

Bậc của hàm

Thuật ngữ "đa thức bậc hai" đôi khi có nghĩa là "có bậc là 2", hoặc đôi khi là "có bậc cao nhất là 2". Nếu bậc nhỏ hơn 2, điều này có thể được gọi là "trường hợp suy biến". 

Thông thường, nghĩa của thuật ngữ sẽ được xác định bởi ngữ cảnh.

Biến

Một đa thức bậc hai có có 1 biến duy nhất x (trường hợp đơn biến), hoặc nhiều như biến x , y , và z (trường hợp đa biến). Trên thực tế, người ta thường quy một hàm nhiều biến về các hàm 2 biến để dễ xét.

Trường hợp một biến

Bất kỳ một đa thức bậc hai 1 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

$ax^{2}+bx+c$

Trong đó:

x là biến

a, b, c là các hệ số

Trong đại số cơ bản, đa thức như vậy thường phát sinh dưới dạng phương trình bậc hai. Các nghiệm cho phương trình này được gọi là gốc của đa thức bậc hai, và có thể được tìm thấy thông qua phân tích thành nhân tử, phần bù bình phương, đồ thị, phương pháp Newton, hoặc thông qua việc sử dụng công thức bậc hai. Mỗi đa thức bậc hai có một hàm bậc hai liên quan, có đồ thị là một hình parabol.

Biệt thức

Biệt thức thông thường $\Delta =b^{2}-4ac$

Ngoài ra, với b = 2b' thì ta có biệt thức thu gọn: $\Delta '=b'^{2}-ac$. Khi đó $\Delta =2\Delta '$

Trường hợp hai biến

Bất kỳ đa thức bậc hai 2 biến nào cũng có thể được viết dưới dạng:

$f(x,y)=ax^{2}+by+cxy+dx+ey+f$

Trong đó x và y là các biến và a , b , c , d , e , f là các hệ số. Các đa thức như vậy là cơ sở để nghiên cứu các hình conic, được biểu diễn bằng cách biểu diễn biểu thức cho f(x,y) với không. Tương tự như vậy, đa thức bậc hai với 3 hoặc nhiều hơn các biến tương ứng với mặt bậc hai và siêu mặt. Trong đại số tuyến tính, đa thức bậc hai có thể được khái quát thành khái niệm của dạng bậc hai trên không gian véc tơ.[2]

Các dạng của một hàm bậc hai đơn biến

Một hàm bậc hai đơn biến có thể được biểu diễn dưới 3 dạng: 

• Dạng chuẩn:  $f(x)=ax^{2}+bx+c$
• Dạng thừa số: $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})$ trong đó: r_1, r₂ là nghiệm của hàm số bậc 2.
• Dạng đỉnh: $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ trong đó: h, k lần lượt là tọa độ x và y của các đỉnh tương ứng.

Hệ số a có cùng giá trị trong cả ba dạng. Để chuyển đổi dạng chuẩn về dạng thừa số, chỉ cần dùng công thức nghiệm bậc hai để xác định hai nghiệm r₁ và r₂ . Để chuyển đổi dạng thừa số về dạng đỉnh, chỉ cần sử dụng phần bù bình phương. Để chuyển đổi dạng thừa số (hoặc dạng đỉnh) về dạng chuẩn, chỉ cần nhân phân phối các thừa số.

Các nghiệm của hàm đơn biến

Các nghiệm

Tương tự phương trình bậc hai, hàm số bậc hai mẫu chuẩn: $y=ax^{2}+bx+c$ có 2 nghiệm

$r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b'-{\sqrt {\Delta '}}}{a}};r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}={\frac {-b'+{\sqrt {\Delta '}}}{a}}$ (nghiệm thực)

hoặc

$r_{1}={\frac {-b-i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}={\frac {-b'-i{\sqrt {-\Delta '}}}{a}};r_{2}={\frac {-b+i{\sqrt {-\Delta }}}{2a}}={\frac {-b'+i{\sqrt {-\Delta '}}}{a}}$ (nghiệm phức)

với b = 2b' và Δ = 4Δ'

Độ lớn tối đa của các nghiệm

Người ta cũng chứng minh được rằng giá trị tuyệt đối của nghiệm bậc 2 không lớn hơn ${\frac {\max(\left\vert a\right\vert ,\left\vert b\right\vert ,\left\vert c\right\vert )}{\left\vert a\right\vert }}\times \phi$ với $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ (tỉ lệ vàng)

Đồ thị hàm số một biến

Giờ ta chỉ xét hàm số bậc hai mẫu chuẩn: $y=ax^{2}+bx+c$ $(a\neq 0)$

Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn luôn là một đường parabol trên hệ trục tọa độ.

Đỉnh của đồ thị

Điểm đỉnh của một parabol là nơi mà nó quay. Do đó, nó còn được gọi là bước ngoặt . 

Nếu hàm bậc hai ở dạng đỉnh, đỉnh là (h,k) . Sử dụng phương pháp phần bù bình phương, người ta có thể biến dạng chuẩn sang dạng đỉnh ta có $f(x)=a(x-{\frac {-b}{2a}})^{2}+(c-{\frac {b^{2}}{4a}})$

vậy h là trục đối xứng của parabol

Nếu ở  dạng thừa số $y=a(x-r_{1})(x-r_{2})$ ta lấy trung bình của 2 nghiệm tức là ${\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}$ do đó toạ độ đỉnh khi đó là $({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}))$

Đồ thị của hàm số bậc 2 dạng đơn thức

Hình dạng

Một dạng cơ bản của hàm số này được học trong chương trình SGK Toán lớp 9 có dạng: $y=ax^{2}$

Tập xác định: R

Đồ thị của hàm số này luôn đi qua gốc tọa độ và có

Đỉnh: $O(0;0)$

Trục đối xứng: Oy

nếu a>0 thì đồ thị nằm ở trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Ta có thể chứng minh được điều này: vì a>0 và $x^{2}\geq 0$ nên y luôn không âm, hay parabol luôn nằm trên trục hoành.

nếu a<0 thì đồ thị nằm ở dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị. Lý luận như trên, ta có thể chứng minh được điều này.

Cách vẽ

Dựa trên một hàm số bất kì, ta có thể vẽ bằng các cách sau:

Cách 1: Giả sử ta có hàm $y={\frac {1}{3}}x^{2}$, ta vẽ ít nhất 3 điểm x lấy giá trị dương để đường parabol chính xác hơn. Sau đó qua trục tung vẽ 3 điểm nhận giá trị x âm tương ứng.

Cách 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, giả sử đã biết điểm $M(x_{0};y_{0})$ khác gốc tọa độ thuộc parabol. Gọi P là hình chiếu M lên Ox, lần lượt chia đoạn OP, PM thành n phần bằng nhau và qua các điểm này kẻ những đường thẳng song song với Oy, nối chúng với O và đánh số thứ tự các đường thẳng và đoạn thẳng. Lấy giao điểm của các cặp đoạn thẳng có cùng đường thẳng và đoạn thẳng có cùng thứ tự. Nối chúng, ta thu được nửa parabol của hàm đã cho. Cuối cùng vẽ đối xứng nửa parabol này qua trục Oy.

Cách 3:Cách này chỉ dùng cho hàm $y={\frac {x^{2}}{2}}$

Trên vở có kẻ dòng như vở học sinh, ta lấy khoảng cách giữa mỗi dòng là 1 đơn vị độ dài và vẽ các đường tròn đồng tâm, rồi kẻ các đường thẳng song song cắt các đường tròn đó và đánh dấu các giao điểm thực tế có một tập hợp các giao điểm khác giao điểm giữa đường tròn và các đường thẳng, tập hợp các điểm đó chính là trục tung Oy. Đánh dấu xong ta xóa các đường tròn, các đường thẳng và các số đánh dấu đi. Nối chúng, ta được một Parabol.

Đồ thị của hàm số bậc 2 mẫu chuẩn

Giới thiệu

Dạng mẫu chuẩn được dạy đầy đủ trong Đại số 10

Dạng: $y=ax^{2}+bx+c$

Tập xác định: R, ($a\neq 0$)

Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương:

$y=ax^{2}+bx+c$

$a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c$

$a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}$

khi đó nếu coi $(x+{\frac {b}{2a}})^{2}=u$ và $-{\frac {\Delta }{4a}}=v$ thì ta có $y=au^{2}+v\Leftrightarrow y-v=au^{2}$

Do đó ta có thể quy về hàm số bậc hai rút gọn.

Do đó $I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}$ thuộc đồ thị của hàm số và như vậy, tương đương hàm số bậc 2 rút gọn ta có:

Nếu $a>0\Rightarrow y\geq -{\frac {\Delta }{4a}}$ $\forall x$ do đó $I$ là điểm thấp nhất của đồ thị.

Nếu $a<0\Rightarrow y\leq -{\frac {\Delta }{4a}}$ $\forall x$ do đó $I$ là điểm cao nhất của đồ thị.

Như vậy điểm $I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}\equiv I{\Bigl (}{\frac {-b'}{a}};{\frac {-\Delta '}{a}}{\Bigr )}$ đóng vai trò như điểm $O(0;0)$ trong parabol của đồ thị hàm $y=ax^{2}$

Đồ thị

Đồ thị của hàm mẫu chuẩn chỉ là kết quả của các phép biến hình hình học đồ thị của hàm số bậc hai thu gọn.

Đỉnh: I($x_{I};y_{I}$) với $x_{I}$=${\frac {-b}{2a}}$=${\frac {-b'}{a}}$và $y_{I}$=f(${\frac {-b}{2a}}$)=f(${\frac {-b'}{a}}$)=$-{\frac {\Delta }{4a}}$=$-{\frac {\Delta '}{a}}$

Trục đối xứng: $x={\frac {-b}{2a}}\equiv x={\frac {-b'}{a}}$

Trục này quay bề lõm lên trên nếu a>0, xuống dưới nếu a<0.

Chứng minh: Ta chứng minh đồ thị hàm số này suy ra từ đồ thị hàm số rút gọn qua 3 bước:

Bước 1: Chứng minh đồ thị của hàm $y=ax^{2}+y_{0}$

Xét 2 hàm số $f(x)=ax^{2},g(x)=ax^{2}+y_{0}$

Tại cùng một điểm $X\in R$ ta có $Y=f(X)=aX^{2},g(X)=aX^{2}+y_{0}=Y+y_{0}$

Do đó nếu điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đồ thị của hàm $y=ax^{2}$ thì điểm sẽ thuộc đồ thị của hàm ${\displaystyle y=ax^{2}}+y_{0}$.

Bây giờ nếu ta dịch chuyển một điểm M song song trục tung một đoạn $\left\vert y_{0}\right\vert$ đơn vị (lên trên nếu $y_{0}>0$, xuống dưới nếu $y_{0}<0$) thì ta được điểm N.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bước 2: Đồ thị của hàm số $y=a(x+x_{0})^{2}$

Xét 2 hàm $f(x)=ax^{2},g(x)=a(x+x_{0})^{2}$

với X tùy ý ta có $f(X)=aX^{2},g(X-x_{0})=a\left[(X-x_{0})+x_{0}\right]^{2}=aX^{2}$

Tức là giá trị của hàm f(X) tại X bằng giá trị của hàm g(X) tại $X-x_{0}$. Vậy với điểm $M(X;Y)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=ax^{2}$ thì điểm $N(X-x_{0};Y)$ thuộc đồ thị của hàm số $y=a(x+x_{0})^{2}$.

Vậy nếu tịnh tiến M song song với trục hoành $\left\vert x_{0}\right\vert$ đơn vị về bên trái nếu $x_{0}>0$ và về bên phải nếu $x_{0}<0$ thì được điểm N.

Do đó ta có điều phải chứng minh.

Bước 3:Đồ thị của hàm số $y=ax^{2}+bx+c$

ta có biến đổi như phần Giới thiệu:$a(x+{\frac {b}{2a}})^{2}-{\frac {\Delta }{4a}}$

áp dụng các kết quả từ Bước 1,2 với $x_{0}={\frac {b}{2a}},y_{0}=-{\frac {\Delta }{4a}}$ ta thấy đồ thị là sự di chuyển sang trái hoặc phải tịnh tiến song song với trục hoành một khoảng $\left\vert x_{0}={\frac {b}{2a}}\right\vert$ và lên trên hoặc xuống dưới tịnh tiến song song với trục tung một khoảng $\left\vert y_{0}=-{\frac {\Delta }{4a}}\right\vert$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cách vẽ

Bước 1:Xác định tọa độ đỉnh $I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};{\frac {-\Delta }{4a}}{\Bigr )}$hoặc $I{\Bigl (}{\frac {-b'}{a}};{\frac {-\Delta '}{a}}{\Bigr )}$hoặc $I{\Bigl (}{\frac {-b}{2a}};f({\frac {-b}{2a}}){\Bigr )}$

Bước 2: Vẽ trục đối xứng $x={\frac {-b}{2a}}$($x={\frac {-b}{2a}}$)

Bước 3: Xác định tọa độ các giao điểm của parabol với trục tung $(0;c)$ và trục hoành nếu có, sau đó xác định một số điểm thuộc đồ thị

Bước 4: Vẽ parabol và chú ý dấu của hệ số a để biết parabol quay hướng nào.

Chiều biến thiên

Ta có bảng sau:

• Khi a>0

$x$	$-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$
$y$	$+\infty \searrow {\frac {-\Delta }{4a}}\nearrow +\infty$

Hàm số nghịch biến trên $({\displaystyle -\infty };{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}})$ và đồng biến trên $({\displaystyle {\frac {-b}{2a}}};{\displaystyle +\infty })$.

• Khi a<0

$x$	$-\infty$ ${\frac {-b}{2a}}$ $+\infty$
$y$	$-\infty \nearrow {\frac {-\Delta }{4a}}\searrow -\infty$

Hàm số nghịch biến trên $({\displaystyle {\frac {-b}{2a}}};{\displaystyle +\infty })$ và đồng biến trên $({\displaystyle -\infty };{\displaystyle {\frac {-b}{2a}}})$.

Tất cả các kiến thức về cách vẽ, bảng biến thiên, đồ thị và cấu trúc cũng như ứng dụng của hàm số bậc hai mẫu chuẩn và thu gọn đều có trong SGK Toán 9 tập 2 và SGK Đại số 10.

Biến thể của hàm bậc hai (hai biến)

Ở trên ta gặp dạng mẫu chuẩn, nếu với 2 biến x,y ta có:

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F$

Với A,B,C,D,E cố định và F biến thiên. Tại $f(x,y)$ thay đổi mô tả được tại đó giao điểm của mặt phẳng với một mặt phẳng z=0 khác. Nó có thể coi như một giao điểm khi cắt một mặt nón bằng một thiết diện.

Cực đại và cực tiểu của hàm

nếu $4AB-E^{2}<0$ thì hàm không có giá trị cực đại hay cực tiểu mà như là một hình parabol hyperbolic

nếu $4AB-E^{2}>0$ thì hàm có cực đại tại A<0 và cực tiểu tại A>0. và khi đó xảy ra tại ($(x_{0};y_{0}):(-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}};-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}})$

nếu $4AB-E^{2}=0$ và $DE-2CB=2AD-CE\neq 0$. Hàm cũng không có cực đại hay cực tiểu và nó giống một xilanh parabol.

nếu $4AB-E^{2}=0$ và $DE-2CB=2AD-CE\neq 0$. Hàm cực đại và cực tiểu trên một đường có cực tiểu tại A>0 và cực đại tại A<0.

Ứng dụng

Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc 2 với $x$ là biểu thức có dạng $ax^{2}+bx+c$ trong đó a,b,c là các hệ số và $a\neq 0$.

Như vậy hàm bậc hai tương đương với tam thức bậc hai và ta có:

$\Delta <0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$, $\forall x\in R$

$\Delta =0$ thì $f(x)$ luôn cùng dấu với $a$, trừ $x=-{\frac {b}{2a}}$

$\Delta >0$ thì $f(x)$:

• Cùng dấu với $a$ khi $x<x_{1}$ hoặc $x>x_{2}$
• Trái dấu với $a$ khi $x_{1}<x<x_{2}$

với $x_{1},x_{2}(x_{1}<x_{2})$là 2 nghiệm của $f(x)$

Cách xét dấu trên cũng đúng khi sử dụng biệt thức Δ'

Các bài toán có nội dung quy về phương trình bậc hai

Một số công thức sau đây thể hiện sự phụ thuộc giữa 2 đại lượng mà có sự tham gia của phương trình bậc hai, chủ yếu là các công thức Vật lý:

Cơ học

Công thức tính quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều: $s=v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

Phương trình chuyển động thẳng biến đổi đều: $x=x_{0}+v_{0}t+{\frac {at^{2}}{2}}$

công thức liên hệ giữa gia tốc, vận tốc, quãng đường đi được của chuyển động thẳng biến đổi đều:$v^{2}-v_{0}^{2}=2as$

quãng đường đi được của vật rơi tự do-Chuyển động thành phần theo trục Oy của vật rơi tự do trong hệ trục tọa độ: $s={\frac {gt^{2}}{2}}\approx 5t^{2}$(khi chỉ ở trên Trái Đất)$/y={\frac {gt^{2}}{2}}$

Gia tốc hướng tâm:$a={\frac {v^{2}}{r}}=r\omega ^{2}$

Lực hướng tâm:$F={\frac {mv^{2}}{r}}=mr\omega ^{2}$

Tầm ném xa: $L^{2}=(v-0t)^{2}=v_{0}^{2}{\frac {2h}{g}}$

Định luật vạn vật hấp dẫn:$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{(R+r)^{2}}}$

Động năng của vật:$W_{d}={\frac {mv^{2}}{2}}$

Thế năng đàn hồi:$W_{t}={\frac {k(\Delta l)^{2}}{2}}$

Trong đó $v_{0}$ là vận tốc tại thời điểm $t_{0}$, à các tọa độ của vật, $G$ là hằng số hấp dẫn, $g$ là gia tốc trọng trường, $v$ là vận tốc, $t$ là thời gian, $\Delta l$ là độ biến dạng của lò xo, $a$ là gia tốc, $L$ là tầm ném xa, $W$ là động năng, $F$ là lực, $r$ là bán kính của các thiên thể/vật mà ở đây thường là các hành tinh.$\omega ={\frac {\Delta a}{\Delta t}}$ là tốc độ góc của chuyển động tròn đều.