Toán tử Hamilton

Trong cơ học lượng tử, toán tử Hamilton là một toán tử tương ứng với năng lượng toàn phần của hệ gây nên sự biến đổi theo thời gian, được kí hiệu là H, Ȟ hoặc Ĥ. Như ta đã biết thì năng lượng toàn phần của hệ bằng tổng thế năng và động năng của hệ;

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}$

trong đó

${\hat {V}}=V=V({\mathbf {r}},t)$

${\hat {V}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là thế năng.

${\hat {T}}={\frac {{\mathbf {\hat {p}}}\cdot {\mathbf {\hat {p}}}}{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}$

${\hat {p}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động lượng.

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla \,\!$

${\hat {T}}$ là toán tử tự liên hợp trên không gian Hilbert với đại lượng quan sát là động năng.

Kết hợp 2 toán tử trên, ta có toán tử Hamilton được sử dụng trong phương trình Schrödinger

${\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\&={\frac {{\mathbf {\hat {p}} }\cdot {\mathbf {\hat {p}} }}{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}$

Phương trình Schrodinger và toán tử Hamilton

Xem bài viết chính phương trình Schrodinger