Đa tạp đại số

Đa tạp đại số

Giả sử là một trường đóng đại số với đặc số 0. Có thể coi là trường số phức. I. Đa tạp affine trên. Đặt n biến trên. Một tập con không rỗng được gọi là một iđêan nếu:

f + g I với mọi f, g I

hf I với mọi h A, f I

R là hữu hạn sinh (do là vành Noether) nên tập đại số của là tập nghiệm của 1 số hữu hạn phương trình đa thức trên I.

Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số afine là một tập đại số afine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số afine là một tập đại số afine (tương ứng với hợp hay tổng của các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số afine (tương ứng với các iđêan của) cho ta một Tôpô trên không gian. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số afine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).

Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:

(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.

(b) Mỗi tập mở của đều là trù mật trong.

Tập trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian afine chiều trên. Ta ký hiệu không gian này là (dùng ký hiệu khác với để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).

Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp afine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là semi-afine).

Vành tọa độ của một đa tạp đại số afine. Giả sử được định nghĩa như sau:

là iđêan xác định của như đã định nghĩa ở trên, và ký hiệu vành thương của theo môdun, với mỗi iđêan (nghĩa là vành các lớp tương đương theo môdun). Khi đó là vành toạ độ của một đa tạp đại số afine.

Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu, Tôpô Zariski trên giới hạn vào sẽ cho một Tôpô trên (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong với). Đa tạp được gọi là bất khả quy nếu không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng).

(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).

Định lý. Đa tạp đại số affine là bất khả quy nếu và chỉ nếu là iđêan nguyên tố trong, lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi (thường thì là tập gồm một điểm đóng và (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố). Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).

Nhận xét:

Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).

Bài Tập (1) (thay bằng là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.

(2) Giả sử là trường số thực. Tìm một đa thức trong không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức với cùng tính chất?

II. Đa tạp xạ ảnh. Đặt được gọi là bậc của. Ví dụ: bao gồm các đa thức thuần nhất. Ví dụ: Quan hệ trên tập thỏa mãn các tính chất sau:

(a) là một quan hệ tương đương trên tập đã định nghĩa (nghĩa là nếu. Tôpô Zariski trên được định nghĩa một cách tương tự như Tôpô Zariski trên chỉ thay bằng khi xét các đa thức hay các iđêan ta xét các đa thức thuần nhất và các iđêan thuần nhất.

Nhận xét rằng mỗi đa thức như với (vì mỗi điểm của là một lớp tương đương và giá trị của tại điểm đó phụ thuộc vào từng đại diện của lớp tương đương đó - có nhiều đại diện của mỗi lớp tương đương).

Hoàn toàn tương tự như với các tập đại số affine, tập tất cả các tập đại số xạ ảnh (tương ứng với các iđêan thuần nhất của) tạo thành các tập đóng của một Tôpô trên. Tôpô này được gọi là Tôpô Zariski. Từ giờ trở đi, khi viết ta hiểu là không gian trang bị bởi Tôpô Zariski như đã nói.

Định nghĩa. được gọi là không gian xạ ảnh chiều trên.

Định nghĩa. Một đa tạp xạ ảnh là một tập con đóng của với tự nhiên nào đó.

Ghi chú: Giả sử trên (lấy giao với) ta có Tôpô Zariski trên. Đôi khi một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh cũng được coi là một đa tạp xạ ảnh.

Bằng cách tương đương ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy. là bất khả quy nếu không thể viết thành hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó.

Định nghĩa. Với một đa tạp xạ ảnh được định nghĩa như sau:

là vành.

Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp affine, ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy và chiều của một đa tạp xạ ảnh. Ta cũng có thể xây dựng tương ứng 1-1 (giống như tương ứng trong trường hợp affine) giữa đa tạp xạ ảnh và iđêan căn thuần nhất. Từ tương ứng này ta có xác định tập rỗng trong.

Liên hệ giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine.

Một trong các mối liên hệ quan trọng giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine là mỗi đa tạp xạ ảnh đều có thể được xem như hợp của một số hữu hạn các đa tạp affine. Cách nhìn này sẽ là khá quan trọng cho các thảo luận kế tiếp.

Định nghĩa: giả sử (hay đa tạp xạ ảnh xác định bởi) trong là một siêu mặt. Trong trường hợp là một đa thức tuyến tính thuần nhất, ta gọi tập các không điểm của là một siêu phẳng.

Nhận xét rằng, mỗi biến của là một đa thức tuyến tính thuần nhất. Vì thế xác định một siêu phẳng trong - ta ký hiệu siêu phẳng này là.

Theo định nghĩa thì là một tập con mở của Dễ dàng thấy rằng, do định nghĩa, với mỗi sao cho có nghĩa là ta loại bỏ thành phần).

Dễ thấy rằng nếu (với nào đó) - nghĩa là, nếu tồn tại là ánh xạ xác định trên.