Elip

Trong toán học, một elíp (tiếng Anh, tiếng Pháp: ellipse) là quỹ tích các điểm trên một mặt phẳng có tổng các khoảng cách đến hai điểm cố định là hằng số F₁M + F₂M = 2a. Hai điểm cố định F₁ và F₂ đó được gọi là các tiêu điểm. Elipse là một trong ba đường cô-nic.

Đường Elip trong hình nón

Định nghĩa và cách vẽ

Định nghĩa

Cho hai điểm F₁ và F₂ cố định với F₁F₂ = 2c (c > 0).

Đường ellipse (còn gọi là ellipse hay oval) la tập hợp các điểm M sao cho MF₁ + MF₂ = 2a, trong đó a là số chẵn cho trước lớn hơn c.

Quỹ đạo đường F₁MF₂ là một đường Elipse.

Hai điểm F₁ và F₂ là các tiêu điểm của Ellipse. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của Ellipse.

Cách vẽ

Vẽ bằng dây.

- Đóng đinh lên mặt phẳng tại hai điểm F₁ và F₂.

- Lấy một vòng dây kín không đàn hồi, có độ dài lớn hơn hai lần khoảng cách F₁F₂. Quàng sợi dây vào hai chiếc đinh, đặt đầu bút chì vào trong vòng dây rồi căng ra để vòng dây trở thành hình tam giác. Di chuyển đầu bút chì sao cho dây luôn căng và áp sát mặt gỗ. Khi đó đầu bút chì sẽ vạch ra một đường mà ta gọi là đường ellipse.

Phương trình chính tắc đường Ellipse:

Cho hình elip (E) như trong định nghĩa trên. Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thằng F₁F₂. Trục Oy là đường trung trực của F₁F₂ và F₂ nằm trên tia Ox.

Đường elipse E

Giả sử điểm M(x; y) nằm trên elipse (E). Tính MF²₁ - MF²₂ rồi sử dụng định nghĩa MF₁ + MF₂ để tính MF₁ - MF₂. Từ đó suy ra:

MF₁ = a + ${\frac {cx}{a}}$ và MF₂ = a - ${\frac {cx}{a}}$.

Các đoạn thẳng MF₁, MF₂ được gọi là bán kính qua tiêu của điểm M.

Bây giờ ta lập phương trình của elip (E) đối với hệ trục tọa độ đã chọn như trên.

Ta có

MF₁ = a + ${\frac {cx}{a}}$ = ${\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}$ hay$(a+{\frac {cx}{a}})^{2}=(x+c)^{2}+y^{2}$.

Rút gọn đẳng thức trên ta được (1 - ${\frac {c^{2}}{a^{2}}}$) $x^{2}+y^{2}=a^{2}-c^{2}$, hay ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1$. Vì a² - c² > 0 nên ta có thể đặt a² - c² = b² (với b > 0) và được phương trình chính tắc của elip đã cho:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ (với a > b > 0).

Ngược lại ta có thể chứng minh rằng: Nếu điểm M có tọa độ (x; y) thỏa mãn phương trình trên thì

MF₁ = a + ${\frac {cx}{a}}$ và MF₂ = a - ${\frac {cx}{a}}$ do đó MF₁ + MF₂ = 2a, tức là M thuộc elip (E).

Đặc điểm hình học

Elíp và một số đặc tính. F₁ và F₂ là các tiêu điểm; a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ; c là tiêu cự; e là độ dẹt(hay tâm sai)

Elíp có hai trục đối xứng (AB, CD trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn AB và nhỏ CD. Nửa chiều dài của các trục này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm e-líp đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).

Trong một elíp ta luôn có:

$c^{2}=a^{2}-b^{2}$

Độ dẹt của elíp (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm của elíp) là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn:

$e={\frac {c}{a}}$ (0 ≤ e < 1)

e = 0 khi 2 tiêu điểm trùng nhau và hình elíp lúc bấy giờ là hình tròn.

Trong hệ trục tọa độ Descartes, hình elíp có thể được tạo thành bằng cách đem nhân các tọa độ x của các tất cả điểm trên một đường tròn với một hằng số đồng thời không thay đổi các tọa độ y của các điểm đó.

Diện tích của hình e-líp với các bán trục a và b được tính bởi:

$S=\pi ab$

Một tính chất quang hình học của e-líp là: Nếu e-líp là một mặt gương cong thì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của e-líp sau khi đến mặt cong sẽ phản xạ và đi qua tiêu điểm còn lại.

Hình elíp là một dạng của tiết diện hình nón: nếu mặt của hình nón được cắt bởi một mặt phẳng không cắt mặt đáy, đường giao nhau của hình nón và mặt phẳng đó được gọi là một hình elíp. Muốn xem cách chứng minh cơ bản, đọc bài "Khối cầu Dandelin".

Chú ý rằng ý nghĩa của a và b là khác so với hình bên cạnh

Biểu diễn dưới dạng phương trình đại số

Trong đại số, hình e-líp được định nghĩa bởi phương trình bậc hai sau:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$

Trong đó các hệ số A, B, C, D, E, F đều là số thực và $B^{2}<4AC$, Mỗi cặp nghiệm (x,y) tương ứng với một điểm thuộc hình elíp.

Tập tin:HinhEllipse.png

Hình E-líp

Một trường hợp đơn giản nhất, khi các bán trục của e-lip đều nằm trên các trục x và y của hệ trục tọa độ vuông góc (tọa độ Descartes) thì phương trình được đơn giản hóa thành: $Ax^{2}+Cy^{2}+F=0$

và có thể đưa về dạng chính tắc:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

trong đó a và b là các bán trục của e-líp.

Elíp là một trong những đường cô-nic cơ bản.

Elíp tổng quát

Sự mở rộng khái niệm đường elíp lên các bậc cao khác ngoài hai hình thành đường siêu elíp en:Superellipse

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1$

• 
  Squircle, siêu elíp với
  n= 4, a= b = 1, tương tự như hình vuông được kéo các góc vào.
• 
  n = ³⁄₂, a = b = 1 tạo ra một hình tròn hơn giống như đỉnh của hình vuông bị vát tròn.
• 
  n = ¹⁄₂, a = b = 1 có hình sao 4 cạnh dạng Parabol.

Đường siêu elíp với hai số mũ khác nhau m ≠ n.

Tổng quát hơn nữa, ta có trường hợp đường elíp với hai số mũ khác nhau: m≠n

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0.$

nghĩa là:

${\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta )\end{aligned}}$

• Mở rộng lên không gian ba chiều, ta có Ellipsoid:

Quả trứng bằng đồng thau theo Piet Hein.

$\left(|x/a_{x}|^{2/e}+|y/a_{y}|^{2/e}\right)^{e/n}+|z/a_{z}|^{2/n}=1.\,\!$

Các phương trình tham số trong mặt phẳng chứa các tham số u và v gồm

${\begin{aligned}x(u,v)&{}=a_{x}c(v,n)c(u,e)\\y(u,v)&{}=a_{y}c(v,n)s(u,e)\\z(u,v)&{}=a_{z}s(v,n)\\&-\pi /2\leq v\leq \pi /2,\quad -\pi \leq u<\pi ,\end{aligned}}$

với các phương trình bổ trợ

${\begin{aligned}c(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\cos \omega )|\cos \omega |^{m}\\s(\omega ,m)&{}=\operatorname {sgn}(\sin \omega )|\sin \omega |^{m}\end{aligned}}$

và hàm sgn(x) được định nghĩa như sau

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\+1,&x>0.\end{cases}}$

Thể tích giới hạn bởi mặt này có thể được tính thông qua hàm beta, β(m,n) = Γ(m)Γ(n)/Γ(m+n):

$V={\frac {2}{3}}a_{x}a_{y}a_{z}en\beta \left({\frac {e}{2}},{\frac {e}{2}}\right)\beta \left(n,{\frac {n}{2}}\right).$

Xem thêm

• Đường hyperbol
• Đường parabol
• Đường cô-nic

Liên kết ngoài

• Khái niệm elip trên BKTT VN
• Elip biến dạng