Định lý Brouwer

Định lý Brouwer ' được tìm ra năm 1912 bởi nhà luận lý học Dutch Luizen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) và còn có tên là Nguyên lý điểm bất động Brouwer . Đây là một trong những định lý toán học quan trọng nhất thế kỉ 20 , ngày nay vẫn đang được tiếp tục mở rộng . Chứng minh nguyên thủy của Brouwer sử dụng phương pháp tôpô ( phương pháp bậc của ánh xạ liên tục ) . Ngày nay đã có ít nhất 5 cách chứng minh khác nhau cho nguyên lí nổi tiếng này và hàng chục định lý tương đương với nó đã được tìm ra !

Phát biểu ( dạng nguyên thủy )

• Một ánh xạ liên tục f từ hình cầu đóng trong R^n vào chính nó phải có điểm bất động , tức là tồn tại x sao cho f(x)=x

Thí dụ

Trong mặt phẳng phức mọi ánh xạ liên tục của hình tròn đơn vị vào chính nó sẽ có một điểm cố định.

Mở rộng

Shauder , Tikhonov đã mở rộng nguyên lí này , và ở dạng tổng quát nó được gọi là nguyên lý Brouwer-Schauder-Tikhonov . Phát biểu như sau :

Phát biểu nguyên lí Brouwer-Schauder-Tikhonov

Một ánh xạ liên tục f từ 1 tập lồi compact trong không một gian lồi địa phương Hausdorff vào chính nó phải có điểm bất động .

Hiện trạng

Cho đến nay , người ta chưa biết liệu có thể bỏ đi điều kiện lồi địa phương trong định lý trên hay không ?

Một điểm nữa là người ta đã mở rộng địng lí này cho cả các ánh xạ đa trị !