Phép khử Gauss-Jordan

Phương pháp khử Gauss-Jordan dùng cách khử dần các ẩn để đưa hệ phương trình đã cho về một dạng ma trận đường chéo rồi giải hệ phương trình này, không phải tính một định thức nào.

Phương pháp này được thực hiện qua các bước sau

- Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử x_1$x1$ trong n-1 phương trình còn lại, cách làm tương tự như phương pháp khử để tính định thức... (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ nhất cho a(11)).

Cụ thể để khử x₁ ở hàng thứ k (k = 2, 3, ...,n) ta phải tính lại các hệ số a_(kj) ở hàng thứ k

(j = 1, 2, ..., n+1) như sau: a_kj= a_kj – a_1j * a_k1/a₁₁ ...

- Bước i: Dùng phương trình i để khử x_i trong các phương trình thứ 1, 2, i–1, i+1, i+2, ..., n.

(Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ i cho a_ii)

Cụ thể để khử xi ở hàng thứ k (k = 1, 2, i–1, i+1, i+2, ..., n) ta phải tính lại các hệ số a_kj ở hàng thứ k (j = i, ..., n+1) như sau: a_kj = a_kj – a_ij * a_ki / a_ii ...

- Bước n: Dùng phương trình thứ n để khử x_n trong phương trình thứ 1, 2, ..., n–1. (Để cho công thức đơn giản, trước khi khử ta có thể chia phương trình thứ n cho a_(nn))

Cụ thể để khử x_n ở hàng thứ k (k = 1, 2, ..., n–1) ta phải tính lại các hệ số a_kj ở hàng thứ k (j = n, n+1) như sau: a_kj = a_kj – a_nj * a_kn / a_nn

Tương tự phép khử Gauss tại mỗi bước, trước khi khử ta phải chọn trụ tối đại. Cụ thể tại bước i ta luôn chọn hàng có phần tử ari có giá trị tuyệt đối lớn nhất rồi đổi cho hàng thứ i'7 cho hàng thứ r.

Hệ phương trình sau khi khử có dạng:

a₁₁ x₁ = b₁

a₂₂ x₂ = b₂ ..........

ann xn = bn

Hoặc (Nếu tại các bước (bước i) ta chia cho hệ số a_ii):

x₁ = b₁

x₂ = b₂ ..........

x_n = b_n

Tức là ta đã có các nghiệm mà không cần phải tính toán thêm.

Cũng như trong phương pháp khử Gauss, khi cài đặt trên máy tính ta dùng một mảng a thay cho cả ma trận A và vec tơ b.

Ví dụ:Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss-Jordan

2x₁ + 3x₂ + x₃ = 11

-x₁ + 2x₂ - x_{3 = 0}

3x₁ + 2x₃ = 9

Bước 1: Hệ phương trình trên tương đương với

3x₁ + 2x₃ = 9

x₁ – 2x₂ + x₃ = 0

2x₁ + 3x₂ + x₃ = 11

Bước 1:

3x₁ + 0 + 2x₃ = 9

2x₂ – x₃/3 = 3

3x₂ – x₃//3 = 5

h₁ = h₁; h₂ = h₂ + h₁/3; 3 = h₃ – 2h₁/3;

Bước 2:

3x₁ + 0 + 2x₃ = 9

3x₂ – x₃/3 = 5

2x₂ – x₃/3 = 3

h₁ = h₁; h₂ = h₃; h₃ = h₂

3x₁ + 0 + 2x₃ = 9

3x₂ – x₃/3 = 5

–x₃/9 = –1/3

h₁ = h₁; h₂ = h₂; h₃ = h₃ – 2h₂/3

Bước 3:

Vậy

3x₁ + 0 + 0 = 3

3x₂ – 0 = 6

–x₃/9 = –1/3

x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3

h₁ = h₁ – 2h₃/(–1/9); h₂ = h₂ – (1/3)h₃/(–1/9); h₃ = h₃/(–1/9);