Nhóm tuyến tính tổng quát

Trong toán học, đặc biệt là trong Đại số trừu tượng và Đại số tuyến tính, nhóm tuyến tính tổng quát bậc n là tập hợp n×n ma trận khả nghịch, cùng với phép toán nhân ma trận làm phép toán nhóm. Nó tạo thành một nhóm, là bởi vì tích của hai ma trận khả nghịch là một ma trận khả nghịch, và nghịch đảo của một ma trận khả nghịch cũng là một ma trận khả nghịch, với ma trận đơn vị là phần tử đơn vị của nhóm. Nhóm được đặt tên như vậy là do các cột của ma trận độc lập tuyến tính với nhau.

Chính xác hơn, ta cần phải xác định các phần tử trong ma trận thuộc nhóm đối tượng nào. Ví dụ, nhóm tuyến tính tổng quát trên R (tập các số thực ) là nhóm n×n ma trận khả nghịch của các số thực, được ký hiệu là GL_n(R) hoặc GL(n, R) .

Tổng quát hơn, nhóm tuyến tính tổng quát của bậc n trên bất kỳ trường F nào (chẳng hạn như số phức ), hoặc một vành R (chẳng hạn như vành các số nguyên ), là tập hợp n×n ma trận khả nghịch với các phần tử từ F (hoặc R ), tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận là phép toán nhóm. Kí hiệu hay dùng là GL_n(F) hoặc GL(n,F).

Nhóm tuyến tính đặc biệt, kí hiệu là SL(n, F) hoặc SL_n( F ), là nhóm con của GL(n, F) chỉ bao gồm các ma trận với định thức là 1.

Nếu n ≥ 2, thì nhóm GL(n, F) không phải là nhóm giao hoán .

Nhóm tuyến tính tổng quát của không gian vectơ

Nếu V là một không gian vectơ trên trường F, thì nhóm tuyến tính tổng quát của V, viết tắt là GL ( V ) hoặc Aut ( V ), là nhóm của tất cả tự đẳng cấu của V, tức là tập hợp tất cả các phép biến đổi tuyến tính có tính song ánh V → V, cùng với phép hợp hàm làm phép toán trong nhóm. Nếu V có hữu hạn chiều n thì GL ( V ) và GL(n, F) là đồng hình . Phép đẳng cấu không thể tự tìm ngay ra được; nó phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở trong V. Cho một cơ sở (e₁, ..., e_n) của V và một phép tự đẳng cấu T trong GL(V), khi đó chúng ta có với mọi vectơ cơ sở e_i rằng

$T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}e_{j}$

đối với một số hằng số a_ij trong F ; ma trận tương ứng với T chỉ là ma trận với các phần tử được nhập từ các a_ij.

Định thức

Trên một trường F, một ma trận là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0. Do đó, ta có thể đưa ra định nghĩa thay thế khác của GL(n, F) là một nhóm ma trận có định thức khác không.

Trên vành giao hoán R, ta cần cẩn thận hơn: ma trận trên R là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó là một đơn vị trong R (một phần tử u trong R là đơn vị, nếu tồn tại một phần tử v thuộc R sao cho uv = vu = 1, nghĩa là, u có phần tử nghịch đảo với phép nhân trong R). Do đó, GL(n, R) có thể được định nghĩa là nhóm ma trận mà các định thức của nó là các đơn vị trong R.

Trên các trường hữu hạn

Bảng Cayley của GL(2, 2), là đồng phân của S ₃ .

Nếu F là một trường hữu hạn với q phần tử, thì đôi khi chúng ta viết GL(n, q) thay vì GL(n, F) .

Cấp của nhóm GL(n, q) là:

$\prod _{k=0}^{n-1}(q^{n}-q^{k})=(q^{n}-1)(q^{n}-q)(q^{n}-q^{2})\ \cdots \ (q^{n}-q^{n-1}).$