Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Tác động nhóm”

Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào

Nội tuyến

Phiên bản lúc 04:15, ngày 21 tháng 4 năm 2021

Trong toán học, một tác dụng nhóm trên một không gian là phép đồng cấu nhóm của một nhóm thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác dụng nhóm trên một cấu trúc toán học là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào nhóm tự đồng cấu của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó tác dụng lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác dụng lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác dụng lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các đối xứng của một khối đa diện tác dụng lên các đỉnh, các cạnh và các mặt của khối đa diện đó.

Tác dụng nhóm trên không gian vectơ (hữu hạn chiều) được gọi là biểu diễn nhóm. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của $GL(n, K)$ , nhóm các ma trận khả nghịch bậc $n$ trên trường $K$ .

Định nghĩa

Tác dụng nhóm trái

Nếu $G$ là một nhóm với phần tử đơn vị $e$ và $X$ là một tập hợp, thì một hành động nhóm $α$ (bên trái) của $G$ trên $X$ là một hàm

\alpha \colon G\times X\to X,

(với $α (g, x)$ thường được rút ngắn thành $gx$ hoặc $g \cdot x$ khi tác dụng đang được xem xét đã được biết trước)

thỏa mãn hai tiên đề sau: ^[1]

Tính đơn vị:	$e\cdot x=x$
Tính tương thích:	$g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x$

với mọi $g$ và $h$ thuộc $G$ và mọi $x$ thuộc $X$

Nhóm $G$ được gọi là tác dụng lên tập $X$ (từ trái qua). Tập hợp $X$ cùng với một tác dụng của $G$ được gọi là tập $G$ (bên trái).

Từ hai tiên đề này, Dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ $g$ cố định trong $G$ , hàm từ $X$ vào chính nó là ánh xạ $x$ tới $g \cdot x$ là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho $g -1$ .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác dụng nhóm của $G$ trên $X$ như một phép đồng cấu nhóm từ $G$ thành nhóm đối xứng $Sym(X)$ của tất cả các song ánh từ $X$ với chính nó. ^[2]

Tác dụng nhóm phải

Tuơng tự như vậy, tác dụng nhóm phải của nhóm $G$ tác dụng lên tập $X$ là một hàm

\alpha \colon X\times G\to X,

thỏa mãn hai tiên đề sau:

Tính đơn vị:	$x\cdot e=x$
Tính tương thích:	$(x\cdot g)\cdot h=x\cdot (g\cdot h)$

với mọi $g$ và $h$ thuộc $G$ và mọi $x$ thuộc $X$

Tham khảo

^ Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. tr. 144.
^ This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. tr. 253.

[1] Eie & Chang (2010). A Course on Abstract Algebra. tr. 144.

[2] This is done, for example, by Smith (2008). Introduction to abstract algebra. tr. 253.

[1]

[2]

@@ Dòng 7: / Dòng 7: @@
 == Định nghĩa ==
-=== Hành động nhóm trái ===
+=== Tác dụng nhóm trái ===
 Nếu {{Mvar|G}} là một [[Nhóm (toán học)|nhóm]] với phần tử đơn vị {{Mvar|e}} và {{Mvar|X}} là một tập hợp, thì một ''hành động nhóm'' {{Mvar|&alpha;}} ''(bên trái'') của {{Mvar|G}} trên {{Mvar|X}} là một hàm
@@ Dòng 15: / Dòng 15: @@
 thỏa mãn hai tiên đề sau: <ref>{{Chú thích sách|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=group action}}|title=A Course on Abstract Algebra|last=Eie & Chang|year=2010|page=144}}</ref>
+:{|
+|Tính đơn vị:
+|<math>e\cdot x = x</math>
+|-
+|Tính tương thích:
+|<math>g\cdot(h\cdot x) = (gh) \cdot x</math>
+|}
 với mọi {{Mvar|g}} và {{Mvar|h}} thuộc {{Mvar|G}} và mọi {{Mvar|x}} thuộc {{Mvar|X}}
@@ Dòng 21: / Dòng 29: @@
 Từ hai tiên đề này, Dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ {{Mvar|g}} cố định trong {{Mvar|G}}, hàm từ {{Mvar|X}} vào chính nó là ánh xạ {{Mvar|x}} tới {{Math|''g'' &sdot; ''x''}} là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho {{Math|''g''<sup>&minus;1</sup>}} .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác dụng nhóm của {{Mvar|G}} trên {{Mvar|X}} như một phép đồng cấu nhóm từ {{Mvar|G}} thành nhóm đối xứng {{Math|Sym(''X'')}} của tất cả các song ánh từ {{Mvar|X}} với chính nó. <ref>This is done, for example, by {{Chú thích sách|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|title=Introduction to abstract algebra|last=Smith|year=2008|page=253}}</ref>
+=== Tác dụng nhóm phải ===
+Tuơng tự như vậy, tác dụng nhóm phải của nhóm {{mvar|G}} tác dụng lên tập {{mvar|X}} là một hàm
+: <math>\alpha\colon X \times G \to X,</math>
+thỏa mãn hai tiên đề sau:
+:{|
+|Tính đơn vị:
+|<math>x\cdot e = x</math>
+|-
+|Tính tương thích:
+|<math>(x\cdot g) \cdot h = x \cdot (g \cdot h)</math>
+|}
+với mọi {{Mvar|g}} và {{Mvar|h}} thuộc {{Mvar|G}} và mọi {{Mvar|x}} thuộc {{Mvar|X}}
 == Tham khảo ==