|
|
Dòng 1: |
Dòng 1: |
|
Đây là danh sách các [[nguyên hàm]] của các [[hàm lượng giác]]. Đối với nguyên hàm của hàm số có hàm lượng giác và hàm mũ, xem [[Danh sách tích phân với hàm mũ]]. Đối với danh sách đầy đủ các nguyên hàm, xem [[Danh sách nguyên hàm]]. Xem thêm [[tích phân hàm lượng giác]]. |
|
Đây là danh sách các [[tích phân]] của các [[hàm lượng giác]]. Đối với tích phân của hàm số có hàm lượng giác và hàm mũ, xem [[danh sách tích phân với hàm mũ]]. Đối với danh sách đầy đủ các tích phân, xem [[danh sách tích phân]]. Xem thêm [[tích phân lượng giác]]. |
|
|
|
|
|
Một cách tổng quát, với <math>\cos(x)</math> là đạo hàm của hàm số <math>\sin(x)</math>, ta có |
|
Một cách tổng quát, với <math>\cos(x)</math> là đạo hàm của hàm số <math>\sin(x)</math>, ta có |
Dòng 6: |
Dòng 6: |
|
Trong mọi công thức dưới đây, a là một hằng số không âm và C là kí hiệu của [[hằng số tích phân]]. |
|
Trong mọi công thức dưới đây, a là một hằng số không âm và C là kí hiệu của [[hằng số tích phân]]. |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[sin]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[sin]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\sin ax\;dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C\,\!</math> |
|
: <math>\int\sin ax\;dx = -\frac{1}{a}\cos ax+C\,\!</math> |
Dòng 45: |
Dòng 45: |
|
: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C</math> |
|
: <math>\int\frac{\sin ax\;dx}{1\pm\sin ax} = \pm x+\frac{1}{a}\tan\left(\frac{\pi}{4}\mp\frac{ax}{2}\right)+C</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[cos]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[cos]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\cos ax\;dx = \frac{1}{a}\sin ax+C\,\!</math> |
|
: <math>\int\cos ax\;dx = \frac{1}{a}\sin ax+C\,\!</math> |
Dòng 81: |
Dòng 81: |
|
: <math>\int\cos a_1x\cos a_2x\;dx = \frac{\sin(a_1-a_2)x}{2(a_1-a_2)}+\frac{\sin(a_1+a_2)x}{2(a_1+a_2)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!</math> |
|
: <math>\int\cos a_1x\cos a_2x\;dx = \frac{\sin(a_1-a_2)x}{2(a_1-a_2)}+\frac{\sin(a_1+a_2)x}{2(a_1+a_2)}+C \qquad\mbox{(for }|a_1|\neq|a_2|\mbox{)}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[tang]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[tang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\tan ax\;dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C\,\!</math> |
|
: <math>\int\tan ax\;dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos ax|+C = \frac{1}{a}\ln|\sec ax|+C\,\!</math> |
Dòng 97: |
Dòng 97: |
|
: <math>\int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax - 1} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2a}\ln|\sin ax - \cos ax|+C\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[secant]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[secant]] == |
|
: ''Xem [[Nguyên hàm của hàm secant]].'' |
|
: ''Xem [[Tích phân của hàm secant]].'' |
|
|
|
|
|
:<math>\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C</math> |
|
:<math>\int \sec{ax} \, dx = \frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} + \tan{ax}\right|}+C</math> |
Dòng 114: |
Dòng 114: |
|
<!-- In the 17th century, the integral of the secant function was the subject of a well-known conjecture posed in the 1640s by Henry Bond. The problem was solved by [[Isaac Barrow]].<ref>V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, "An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", ''[[Mathematics Magazine]]'', volume 53, number 3, May 2980, pages 162–166</ref> It was originally for the purposes of [[cartography]] that this was needed. --> |
|
<!-- In the 17th century, the integral of the secant function was the subject of a well-known conjecture posed in the 1640s by Henry Bond. The problem was solved by [[Isaac Barrow]].<ref>V. Frederick Rickey and Philip M. Tuchinsky, "An Application of Geography to Mathematics: History of the Integral of the Secant", ''[[Mathematics Magazine]]'', volume 53, number 3, May 2980, pages 162–166</ref> It was originally for the purposes of [[cartography]] that this was needed. --> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[cosecant]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[cosecant]] == |
|
|
|
|
|
:<math>\int \csc{ax} \, dx = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C</math> |
|
:<math>\int \csc{ax} \, dx = -\frac{1}{a}\ln{\left| \csc{ax}+\cot{ax}\right|}+C</math> |
Dòng 126: |
Dòng 126: |
|
:<math>\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}}-x+C</math> |
|
:<math>\int \frac{dx}{\csc{x} - 1} = \frac{2\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}}-x+C</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm chỉ gồm hàm [[cotang]] == |
|
== Tích phân chỉ chứa hàm [[cotang]] == |
|
|
|
|
|
:<math>\int\cot ax\;dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!</math> |
|
:<math>\int\cot ax\;dx = \frac{1}{a}\ln|\sin ax|+C\,\!</math> |
Dòng 136: |
Dòng 136: |
|
: <math>\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax-1}\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{dx}{1 - \cot ax} = \int\frac{\tan ax\;dx}{\tan ax-1}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm gồm hàm [[sin]] và [[cos]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[cos]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C</math> |
|
: <math>\int\frac{dx}{\cos ax\pm\sin ax} = \frac{1}{a\sqrt{2}}\ln\left|\tan\left(\frac{ax}{2}\pm\frac{\pi}{8}\right)\right|+C</math> |
Dòng 204: |
Dòng 204: |
|
: và: <math>\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
|
: và: <math>\int\frac{\cos^n ax\;dx}{\sin^m ax} = -\frac{\cos^{n-1} ax}{a(m-1)\sin^{m-1} ax} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\cos^{n-2} ax\;dx}{\sin^{m-2} ax} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm gồm hàm [[sin]] và [[tang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[tang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int \sin ax \tan ax\;dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C\,\!</math> |
|
: <math>\int \sin ax \tan ax\;dx = \frac{1}{a}(\ln|\sec ax + \tan ax| - \sin ax)+C\,\!</math> |
Dòng 210: |
Dòng 210: |
|
: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = \frac{1}{a(n-1)}\tan^{n-1} (ax) +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm gồm hàm [[cos]] and [[tang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[cos]] và [[tang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\tan^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(n+1)}\tan^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm gồm hàm [[sin]] and [[cotang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[sin]] và [[cotang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\sin^2 ax} = -\frac{1}{a(n+1)}\cot^{n+1} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}\,\!</math> |
|
|
|
|
|
== Nguyên hàm gồm hàm [[cos]] and [[cotang]] == |
|
== Tích phân chứa hàm [[cos]] và [[cotang]] == |
|
|
|
|
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
|
: <math>\int\frac{\cot^n ax\;dx}{\cos^2 ax} = \frac{1}{a(1-n)}\tan^{1-n} ax +C\qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}\,\!</math> |
Đây là danh sách các tích phân của các hàm lượng giác. Đối với tích phân của hàm số có hàm lượng giác và hàm mũ, xem danh sách tích phân với hàm mũ. Đối với danh sách đầy đủ các tích phân, xem danh sách tích phân. Xem thêm tích phân lượng giác.
Một cách tổng quát, với là đạo hàm của hàm số , ta có
Trong mọi công thức dưới đây, a là một hằng số không âm và C là kí hiệu của hằng số tích phân.
Tích phân chỉ chứa hàm sin
Tích phân chỉ chứa hàm cos
Tích phân chỉ chứa hàm tang
Tích phân chỉ chứa hàm secant
- Xem Tích phân của hàm secant.
- [1]
Tích phân chỉ chứa hàm cosecant
Tích phân chỉ chứa hàm cotang
Tích phân chứa hàm sin và cos
- và:
- và:
- và:
- và:
- và:
Tích phân chứa hàm sin và tang
Tích phân chứa hàm cos và tang
Tích phân chứa hàm sin và cotang
Tích phân chứa hàm cos và cotang
Tích phân với giới hạn đối xứng
Tham khảo
- ^ Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008