Gốc của một i-đê-an

Trong lý thuyết vành giao hoán, một nhánh của toán học, gốc của một i-đê-an $I$ (hay cũng gọi là ra-đi-can của $I$, cũng viết là radical) là một i-đê-an sao cho một phần tử $x$ là một phần tử trong gốc và chỉ khi một lũy thừa của $x$ nằm trong $I$. Một i-đê-an gốc (hay i-đê-an bán nguyên tố) là một i-đê-an có gốc bằng với chính nó. Gốc của một i-đê-an sơ cấp là một i-đê-an nguyên tố.

Khái niệm này được khái quát cho các vành không giao hoán trong bài viết về vành bán nguyên tố.

Định nghĩa

Gốc của một i-đê-an $I$ trong một vành giao hoán $R$, ký hiệu $\operatorname {rad} (I)$ hoặc là ${\sqrt {I}}$, được định nghĩa là

${\sqrt {I}}=\{r\in R\mid \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}:r^{n}\in I\}$

Ví dụ

• Xét vành $\mathbb {Z}$ các số nguyên.

1. Gốc của $4\mathbb {Z}$ là $2\mathbb {Z}$.
2. Gốc của $5\mathbb {Z}$ là $5\mathbb {Z}$.
3. Gốc của $12\mathbb {Z}$ là $6\mathbb {Z}$.
4. Gốc của $m\mathbb {Z}$ là $r\mathbb {Z}$ với $r$ là tích các ước số nguyên tố phân biệt của $m$.

• Xét i-đê-an $I=(y^{4})\subset \mathbb {C} [x,y].$ Ta có ${\sqrt {I}}=(y)$.

Tính chất

Xét một vành giao hoán $R$:

• Ta có ${\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}$.
• ${\sqrt {I}}$ là giao của các i-đê-an nguyên tố chứa $I$

  ${\sqrt {I}}=\bigcap _{\scriptscriptstyle {\begin{array}{c}{\mathfrak {p}}{\text{ nguyên tố}}\\R\supsetneq {\mathfrak {p}}\supseteq I\end{array}}}{\mathfrak {p}}$

• Một i-đê-an $I$ của một vành $R$ là một i-đê-an gốc khi và chỉ khi vành thương $R/I$ là một vành giảm.

Tham khảo

• M. Atiyah, IG Macdonald, Giới thiệu về Đại số giao hoán, Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-40751-5 Mã số   0-201-40751-5
• Eisenbud, David, Đại số giao hoán với quan điểm hướng tới hình học đại số, văn bản cao học toán học, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8.
• Lang, Serge (2002), ‘’Đại số’’, Văn bản cao học Toán học, 211 (Sửa đổi lần thứ ba.), New York: Springer-Verlag, ISBN   Lang, Serge Lang, SergeMR   1878556, Zbl   0984.00001