Hyperoperation

Trong toán học, hệ vi thừa hay dãy vi thừa (tiếng Anh: hyperoperation) là một dãy vô hạn của các phép toán số học (được gọi là các vi thừa trong ngữ cảnh này) bắt đầu bằng một phép toán một ngôi (hàm tiết triển với n=0). Trình tự tiếp tục với các phép toán hai ngôi của phép cộng (n=1), phép nhân (n=2), phép luỹ thừa (n = 3).

Sau đó, trình tự tiếp tục với các phép toán hai ngôi mở rộng vượt qua luỹ thừa, sử dụng phép toán kết hợp. Đối với các phép toán vượt quá luỹ thừa, các phép toán thứ n của dãy này được đặt tên bởi Reuben Goodstein sau tiền tố Hy Lạp của n có hậu tố thừa (-ation) (chẳng hạn như túc thừa (tetration) (n=4), thụ thừa (pentation) (n=5), cấn thừa (hexation) (n=6), v.v...) và có thể được viết dưới dạng sử dụng n - 2 mũi tên trong ký hiệu mũi tên lên Knuth. Mỗi vi thừa có thể được hiểu đệ quy theo nghĩa trước đó bằng cách:

$a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots [n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của }}a},\quad n\geq 2$

Nó cũng có thể được định nghĩa theo phần quy tắc đệ quy của định nghĩa, như trong phiên bản mũi tên lên Knuth của hàm số Ackermann:

$a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1$

Điều này có thể được dùng để dễ dàng diễn giải những số lớn hơn nhiều so với số mà ký hiệu khoa học có thể, như là số Skewes và googolplexplex (v.d. $50[50]50$ lớn hơn nhiều so với số Skewes và googoloplexplex), nhưng có những con số mà thậm chí chúng không thể dễ dàng diễn giải được, như là số Graham và TREE(3).

Quy tắc đệ quy này là phổ biến với nhiều biến thể của hệ vi thừa (xem định nghĩa dưới đây).

Định nghĩa

Dãy vi thừa $H_{n}(a,b)\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{3}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ là một dãy các phép toán hai ngôi $H_{n}\,:\,(\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$, định nghĩa đệ quy như sau:

$H_{n}(a,b)=a[n]b={\begin{cases}b+1&{\text{nếu }}n=0\\a&{\text{nếu }}n=1{\text{ và }}b=0\\0&{\text{nếu }}n=2{\text{ và }}b=0\\1&{\text{nếu }}n\geq 3{\text{ và }}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{cách khác}}\end{cases}}$

(Lưu ý rằng đối với n = 0, phép toán hai ngôi về cơ bản sẽ giảm xuống còn phép toán một ngôi (hàm tiết triển) bằng cách bỏ qua đối số đầu tiên.)

Với n = 0, 1, 2, 3, định nghĩa này tái tạo các phép toán số học cơ bản của tiết triển (là một phép toán một ngôi), cộng, nhân và luỹ thừa, tương ứng, như

${\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1\,\!,\\H_{1}(a,b)&=a+b\,\!,\\H_{2}(a,b)&=a\cdot b\,\!,\\H_{3}(a,b)&=a^{b}\,\!,\end{aligned}}$

Vậy hoạt động tiếp theo sau lũy thừa là gì? Chúng ta đã xác định phép nhân sao cho $H_{2}(a,3)=a[2]3=a\times 3=a+a+a,$, và xác định lũy thừa sao cho $H_{3}(a,3)=a[3]3=a^{3}=a\cdot a\cdot a,$ vì vậy có vẻ hợp lý để xác định các phép toán tiếp theo, túc thừa, sao cho $H_{4}(a,3)=a[4]3=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}},$ với một tháp của ba 'a'. Tương tự, thụ thừa của (a, 3) sẽ là tetration (a, tetration (a, a)), với ba "a" trong đó.

Nếu các phép toán H có n ≥ 3 thì có thể được viết bằng ký hiệu Mũi tên lên Knuth như sau:

${\begin{aligned}H_{4}(a,b)&=a\uparrow \uparrow {b}\,\!,\\H_{5}(a,b)&=a\uparrow \uparrow \uparrow {b}\,\!,\\\ldots &\\H_{n}(a,b)&=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ với }}n\geq 3\,\!,\\\ldots &\\\end{aligned}}$

Ký hiệu Knuth có thể được mở rộng thành các chỉ số âm ≥ -2 theo cách đồng ý với toàn bộ dãy vi thừa, ngoại trừ độ trễ trong việc lập chỉ mục:

$H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b{\text{ for }}n\geq 0.$

Các vi thừa có thể được coi là một câu trả lời cho câu hỏi “cái gì tiếp theo” trong dãy: tiết triển, cộng, nhân, luỹ thừa, và v.v.. Ghi chú điều đó

${\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=a+(a\cdot (b-1))\\a^{b}&=a\cdot \left(a^{(b-1)}\right)\\a[4]b&=a^{a[4](b-1)}\end{aligned}}$

Mối quan hệ giữa các phép toán số học cơ bản được minh họa, cho phép các phép toán (vi thừa) cao hơn được xác định một cách tự nhiên như trên. Các tham số của hệ thống phân cấp vi thừa đôi khi được gọi bằng thuật ngữ lũy thừa tương tự của chúng, vì vậy a là cơ số, b là số mũ (hoặc siêu mũ), and n is the rank (or grade), và n là bậc (hoặc cấp), và $H_{n}(a,b)$ được đọc là "n-thừa bậc b của a", ví dụ: $H_{4}(7,9)$ được đọc là "túc thừa bậc 9 của 7", và $H_{123}(456,789)$ được đọc là "123-thừa bậc 789 của 456".

Nói một cách phổ biến, các vi thừa là những cách ghép các số tăng theo sự tăng trưởng dựa trên sự lặp lại của các vi thừa trước đó. Các khái niệm tiết triển, cộng, nhân và lũy thừa đều là các vi thừa, phép tiết triển (tạo x + 1 từ x) là cơ bản nhất, phép cộng xác định số lần 1 được cộng thêm vào chính nó để tạo ra giá trị cuối cùng, phép nhân xác định số lần một số được thêm vào chính nó, và luỹ thừa đề cập đến số lần một số được nhân với chính nó.

Ví dụ

Dưới đây là danh sách của bảy vi thừa đầu tiên (thứ tự từ 0 đến 6) (0⁰ được định nghĩa là 1.).

n	Vi thừa, Hn(a, b)	Định nghĩa	Tên	Miền
0	$1+b$ hoặc $a[0]b$	$1+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của 1}}}$	vi thừa bậc 0, phép tiết triển, điệp thừa	Tuỳ ý
1	$a+b$ hoặc $a[1]b$	$a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của 1}}}$	vi thừa bậc 1, phép cộng	Tuỳ ý
2	$a\cdot b$ hoặc $a[2]b$	$\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của }}a}$	vi thừa bậc 2, phép nhân	Tuỳ ý
3	$a^{b}$ hoặc $a[3]b$	$\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \;\cdots \;\cdot a\cdot a\cdot a} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần }}a}$	vi thừa bậc 3, luỹ thừa	b là số thực, với một số phần mở rộng đa trị cho số phức
4	$^{b}a$ hoặc $a[4]b$	$\underbrace {a[3](a[3](a[3](\cdots [3](a[3](a[3]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của }}a}$	vi thừa bậc 4, túc thừa	a ≥ 0 hoặc là một số nguyên, b là một số nguyên ≥ −1 (đó là một số phần mở rộng được đề xuất)
5	$_{b}a$ hoặc $a[5]b$	$\underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của }}a}$	vi thừa bậc 5, thụ thừa	a, b là các số nguyên ≥ −1
6	$a[6]b$	$\underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ là số lần của }}a}$	vi thừa bậc 6, cấn thừa	a, b là các số nguyên ≥ −1

Trường hợp đặc biệt

H_n(0, b) =

0, khi n = 2, hoặc n = 3, b ≥ 1, hoặc n ≥ 4, b lẻ (≥ −1)

1, khi n = 3, b = 0, hoặc n ≥ 4, b chẵn (≥ 0)

b, khi n = 1

b + 1, khi n = 0

H_n(1, b) =

1, khi n ≥ 3

H_n(a, 0) =

0, khi n = 2

1, khi n = 0, hoặc n ≥ 3

a, khi n = 1

H_n(a, 1) =

a, khi n ≥ 2

H_n(a, a) =

H_n+1(a, 2), khi n ≥ 1

H_n(a, −1) =

0, khi n = 0, hoặc n ≥ 4

a − 1, khi n = 1

−a, khi n = 2

1/a , khi n = 3

H_n(2, 2) =

3, khi n = 0

4, khi n ≥ 1, dễ dàng chứng minh đệ quy.

Lịch sử

Một trong những cuộc thảo luận sớm nhất về hệ vi thừa là của Albert Bennett năm 1914, người đã phát triển một số lý thuyết về vi thừa giao hoán (xem bên dưới). Khoảng 12 năm sau đó, Wilhelm Ackermann đã định nghĩa hàm $\phi (a,b,n)$ mà phần nào giống với dãy vi thừa.

Trong bài báo năm 1947, R. L. Goodstein đã giới thiệu một dãy hoạt động cụ thể của các phép toán được gọi là hệ vi thừa, và cũng đề nghị các tên Hy Lạp túc thừa (tetration), thụ thừa (pentation), v.v., cho các hoạt động mở rộng vượt ngoài lũy thừa (bởi vì chúng tương ứng với các chỉ số 4, 5, v.v.). Là một hàm ba đối số, ví dụ, $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)$, toàn bộ dãy vi thừa được coi là một phiên bản của hàm Ackermann ban đầu $\phi (a,b,n)$ — đệ quy nhưng không đệ quy cơ bản — được sửa đổi bởi Goodstein để kết hợp hàm tiết triển cơ bản cùng với ba phép toán cơ bản khác của số học (phép cộng, phép nhân, luỹ thừa), và để làm cho một phần mở rộng liền mạch hơn của những điều này vượt quá lũy thừa.

Bản gốc ba đối số hàm Ackermann $\phi$ sử dụng quy tắc đệ quy tương tự như phiên bản của Goodstein (tức là, dãy vi thừa), nhưng khác với nó theo hai cách. Thứ nhất, $\phi (a,b,n)$ định nghĩa một dãy các phép toán bắt đầu từ phép cộng (n = 0) thay vì hàm tiết triển, sau đó đến phép nhân (n = 1), luỹ thừa (n = 2), v.v..

Các ký hiệu của vi thừa

Đây là danh sách các ký hiệu đã được sử dụng cho các vi thừa.

Tên	Ký hiệu tương đương với $H_{n}(a,b)$	Giải thích
Ký hiệu Mũi tên lên Knuth	$a\uparrow ^{n-2}b$	Được sử dụng bởi Donald Knuth (cho n ≥ 3), và được tìm thấy trong một số sách tham khảo.
Ký hiệu Goodstein	$G(n,a,b)$	Được sử dụng bởi Reuben Goodstein.
Hàm Ackermann	$A(n,b-3)+3=H_{n}(2,b)$	Điều này tương ứng với các vi thừa cho cơ số 2
Ký hiệu hộp	$a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b$	Được sử dụng bởi Rubtsov và Romerio.
Ký hiệu trên	$a{}^{(n)}b$	Được sử dụng bởi Robert Munafo.
Ký hiệu dưới	$a{}_{(n)}b$	Được sử dụng cho các vi thừa thấp hơn của Robert Munafo.
Ký hiệu ngoặc vuông	$a[n]b$	Được sử dụng trong nhiều diễn đàn trực tuyến, thuận tiện cho ASCII..
Ký hiệu Mũi tên xích Cơna	$a\to b\to (n-2)$	Được sử dụng bởi John Horton Conway (cho n ≥ 3)
Ký hiệu mảng Bowers	$\{a,b,n\}$	Được sử dụng bởi Jonathan Bowers (cho n ≥ 1)

Xem thêm

• Số lớn