Đồ thị hai phía đầy đủ

Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị hai phía đầy đủ (tiếng Anh: Complete bipartite graph hoặc biclique) là một dạng đồ thị hai phía đặc biệt, trong đó mỗi đỉnh của tập thứ nhất nối với mọi đỉnh thuộc tập thứ hai và ngược lại.^[1]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho $G=(X,E)$ là một đồ thị vô hướng lưỡng phân với hai tập $X_{1}$ và $X_{2}$ phân hoạch $X$ ( $X_{1}$ $\neq$ Ø $\neq$ $X_{2}$ và $X_{1}$ $\bigcap$ $X_{2}$ = Ø). Khi đó $G$ được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu:

     * Với mọi cặp đỉnh(i,j) mà i  $\in$   $X_{1}$  và j  $\in$   $X_{2}$  thì có đúng một cạnh của G nối i và j.

Mối tương quan giữa đồ thị đầy đủ và đồ thị hai phía đầy đủ:^[2]

     * Đồ thị đầy đủ  $K_{n}$  có: n đỉnh,  ${\cfrac {n.(n-1)}{2}}$  cạnh
     * Đồ thị hai phía đầy đủ  $K_{m,n}$  có: m + n đỉnh, m.n cạnh

Ví dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Với mọi k, $K_{1,k}$ ta có đồ thị hình sao.^[3]

Hay với đồ thị $K_{1,k}$ ta có đồ thị hình vuốt, hoặc một cây

$K_{m,n}$ với m khác n.

$K_{m,n}$ với m = n.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Định lý Kuratowski ^[4]^[5] liên quan giữa tính phẳng của đồ thị và $K_{3,3}$ : Điều kiện cần và đủ một đồ thị liên thông G có tính phẳng là G không chứa bất kỳ đồ thị con nào đồng phôi với $K_{5}$ hay $K_{3,3}$ . Đồ thị $K_{3,3}$ là đồ thị không phẳng có ít cạnh nhất.

Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có số phủ đỉnh (Vertex covering number) bằng $\min \lbrace m,n\rbrace$ và số phủ cạnh (Edge covering number) bằng $\max \lbrace m,n\rbrace$
Đồ thị hai phía đầy đủ $K_{4,4}$ là một Cayley Graph.^[6]
Một đồ thị đủ $K_{n}$ có thể được tách thành 4 đồ thị con, mỗi đồ thị con là một đồ thị hai phía đầy đủ, $H_{1}$ , $H_{2}$ , $H_{3}$ ,... $H_{m}$ , sao cho $m\geq \;n-1$ ^[7]

Đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ là k-choosable khi và chỉ khi $n<\;m^{m}$ ^[8]

Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có cặp ghép hoàn hảo (Perfect matching) kích thước $\min \lbrace m,n\rbrace$
Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,n}$ hay $K_{n,n+1}$ là một đồ thị Turán.^[9]
Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có mⁿ⁻¹ n^m−1 cây bao trùm
Ma trận Laplace của đồ thị hai phía đầy đủ $K_{m,n}$ có các vectơ n+m, n, m, 0; với các vectơ tương thích 1, m-1, n-1, 1.
Một đồ thị hai phía đầy đủ $K_{n,n}$ có một cách tô màu cạnh (Edge coloring) đúng đắn, n_Edge = n_color.^[10]

Sắc số của đồ thị $K_{m,n}$ là 2 ^[11].
Số màu cần thiết để tô màu các cạnh của $K_{m,n}$ là max{m.n} để không có 2 cạnh nào cùng màu mà lại có chung đỉnh.
Đường kính của đồ thị hai phía đầy đủ: $K_{1,1}$ là 1, còn tất cả các $K_{m,n}$ khác đều có đường kính là 2.^[12]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

^ Bondy, John Adrian; Murty, U. S. R. (1976), Graph Theory with Applications, North-Holland, ISBN 0-444-19451-7, Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 4 năm 2010, truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2013, page 5.
^ Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378, page 66.
^ Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589, page 3.
^ Tutte, W. T. (1963), “How to draw a graph”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 13: 743–767, MR 0158387.
^ Kuratowski, Kazimierz (1930), “Sur le problème des courbes gauches en topologie” (PDF), Fund. Math. (bằng tiếng Pháp), 15: 271–283.
^ Knauer, Ulrich. Algebraic Graph Theory: Morphisms, Monoids and Matrices. Vol. 41. De Gruyter, 2011. Page 270
^ Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378, page 65.
^ Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589, page 155.
^ Reinhard Diestel. Graph Theory, Electronic Edition 2005. © Springer - Verlag Heidelberg, New York 1997, 2000, 2005.[1]
^ Alon, Noga (2003), “A simple algorithm for edge-coloring bipartite multigraphs”, Information Processing Letters, 85 (6): 301–302, doi:10.1016/S0020-0190(02)00446-5, MR 1956451
^ Jimmy Salvatore. (2007), Bipartite Graphs and Problem Solving, ngày 8 tháng 8 năm 2007, University of Chicago [2]
^ Fogiel, M. (1984), The Finite and Discrete Mathematics Problem Solver, Research and Education Association, ISBN 9780878915590, page 269, 270.

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học \| Đại số \| Giải tích \| Hình học \| Lý thuyết số \| Toán học rời rạc \| Toán học ứng dụng \| Toán học giải trí \| Toán học tô pô \| Xác suất thống kê

[1] Bondy, John Adrian; Murty, U. S. R. (1976), Graph Theory with Applications, North-Holland, ISBN 0-444-19451-7, Bản gốc lưu trữ ngày 13 tháng 4 năm 2010, truy cập ngày 5 tháng 5 năm 2013, page 5.

[2] Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378, page 66.

[3] Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589, page 3.

[4] Tutte, W. T. (1963), “How to draw a graph”, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 13: 743–767, MR 0158387.

[5] Kuratowski, Kazimierz (1930), “Sur le problème des courbes gauches en topologie” (PDF), Fund. Math. (bằng tiếng Pháp), 15: 271–283.

[6] Knauer, Ulrich. Algebraic Graph Theory: Morphisms, Monoids and Matrices. Vol. 41. De Gruyter, 2011. Page 270

[7] Aigner, M.; Ziegler, G.M. (2010), Proofs from the Book, Springer, ISBN 9783642010378, page 65.

[8] Kubale, M. (2004), Graph colorings, Amer Mathematical Society, ISBN 9780821834589, page 155.

[9] Reinhard Diestel. Graph Theory, Electronic Edition 2005. © Springer - Verlag Heidelberg, New York 1997, 2000, 2005.[1]

[10] Alon, Noga (2003), “A simple algorithm for edge-coloring bipartite multigraphs”, Information Processing Letters, 85 (6): 301–302, doi:10.1016/S0020-0190(02)00446-5, MR 1956451

[Jimmy_Salvatore-11] Jimmy Salvatore. (2007), Bipartite Graphs and Problem Solving, ngày 8 tháng 8 năm 2007, University of Chicago [2]

[12] Fogiel, M. (1984), The Finite and Discrete Mathematics Problem Solver, Research and Education Association, ISBN 9780878915590, page 269, 270.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]