Số Pythagoras

Trong toán học, số Pythagoras hoặc giảm chiều cao của một trường (đại số) mô tả cấu trúc của tập hợp các ô vuông trong trường. Số Pythagoras p(K) của một trường K là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho mỗi ô vuông trong K là tổng của ô p.

Trường Pythagore là một trường với Pythagoras số 1: có nghĩa là mọi ô vuông đều là hình vuông.

Ví dụ

• Mỗi số thực dương là một hình vuông, vì vậy p(R) = 1.
• Đối với một trường hữu hạn có tính chất kỳ quặc, không phải mọi phần tử đều là hình vuông, nhưng tất cả đều là tổng của hai ô vuông, nên p  = 2.
• Theo định lý 4 ô vuông của Lagrange, mỗi số hợp lý là tổng của bốn ô vuông, và không phải là tổng của ba ô vuông, do đó, p (Q) = 4.

Tính chất

• Mỗi số nguyên dương xuất hiện như số Pythagoras của một số trường thực sự chính thức.
• Các số Pythagoras có liên quan đến Stufe bằng p(F) ≤ s(F) + 1. Nếu F không phải số thực thì s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1, và cả hai trường hợp đều có thể: cho F = C chúng ta có s = p = 1, trong khi F = F₅ chúng ta lại có s = 1, p = 2.
• Số Pythagoras có liên quan đến chiều cao của trường F: nếu F là số thực thì h (F) là công suất nhỏ nhất của 2 không nhỏ hơn p (F); nếu F không là số thực thì h (F) = 2 s (F). Do đó, số Pythagoras của một trường không thực sự chính thức, nếu hữu hạn, hoặc là một sức mạnh của 2 hoặc 1 ít hơn một sức mạnh của 2, và tất cả các trường hợp xảy ra.

Tham khảo

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Nghiên cứu về Toán học. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR 2104929. Zbl 1068.11023.
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022.