Bước tới nội dung

Khác biệt giữa bản sửa đổi của “Tính chẵn lẻ của số không”

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Duyệt lịch sử tương tác
Thay đổi sau →
Nội dung được xóa Nội dung được thêm vào
Trực quanMã wiki
←Trang mới: “{{thế:Đang dịch}} File:Scale of justice 2.svg|thumb|alt=Cân thăng bằng trống|Hai đĩa cân thăng bằng này chứa không đồ vật, chia ra là…”
 
Không có tóm lược sửa đổi
Dòng 9: Dòng 9:
[[0 (số)|Không]] là một số chẵn. Nói theo cách khác, ''[[tính chẵn lẻ]]'' của nó—đặc tính của một [[số nguyên]] có thể thuộc về một trong hai nhóm: chẵn hoặc lẻ—là lẻ. Cách chứng minh đơn giản nhất là kiểm tra xem liệu 0 có thỏa mãn định nghĩa của "số chẵn" không: nó là một [[bội số]] của [[2 (số)|2]], cụ thể là {{nowrap|0 × 2}}. Vì vậy, số không có tất cả các tính chất của số chẵn: ví dụ, hai số liền trước và liền sau của 0 đều là các số lẻ, bất cứ số thập phân nguyên nào cũng đều có tính chẵn lẻ giống như chữ số cuối cùng của nó—chính vì vậy, vì 10 là một số chẵn nên 0 cũng sẽ là số chẵn, và nếu {{mvar|y}} chẵn thì {{math|''y'' + ''x''}} sẽ có tính chẵn lẻ giống {{mvar|x}}—và {{mvar|x}} và {{math|0 + ''x''}} luôn có tính chẵn lẻ giống nhau.
[[0 (số)|Không]] là một số chẵn. Nói theo cách khác, ''[[tính chẵn lẻ]]'' của nó—đặc tính của một [[số nguyên]] có thể thuộc về một trong hai nhóm: chẵn hoặc lẻ—là lẻ. Cách chứng minh đơn giản nhất là kiểm tra xem liệu 0 có thỏa mãn định nghĩa của "số chẵn" không: nó là một [[bội số]] của [[2 (số)|2]], cụ thể là {{nowrap|0 × 2}}. Vì vậy, số không có tất cả các tính chất của số chẵn: ví dụ, hai số liền trước và liền sau của 0 đều là các số lẻ, bất cứ số thập phân nguyên nào cũng đều có tính chẵn lẻ giống như chữ số cuối cùng của nó—chính vì vậy, vì 10 là một số chẵn nên 0 cũng sẽ là số chẵn, và nếu {{mvar|y}} chẵn thì {{math|''y'' + ''x''}} sẽ có tính chẵn lẻ giống {{mvar|x}}—và {{mvar|x}} và {{math|0 + ''x''}} luôn có tính chẵn lẻ giống nhau.


Không cũng thỏa mãn các quy luật được tạo bởi các số chẵn khác. Các quy tắc chẵn lẻ trong số học, như {{nowrap|1=''chẵn'' − ''chẵn'' = ''chẵn''}}, bắt buộc số 0 phải chẵn. Không là [[phần tử đơn vị]] cộng của [[nhóm (toán học)|nhóm]] các số nguyên chẵn, và nó cũng là trường hợp đầu tiên để định nghĩa các [[số tự nhiên]] chẵn khác theo [[đệ quy]]. Applications of this recursion from [[graph theory]] to [[computational geometry]] rely on zero being even. 0 không chỉ chia hết cho 2, nó còn chia hết cho mọi [[lũy thừa của 2]], which is relevant to the [[binary numeral system]] used by computers. In this sense, 0 is the "most even" number of all.<ref name="arnold-wong">{{harvnb|Arnold|1919|p=21}} "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; {{harvnb|Wong|1997|p=479}} "Thus, the integer {{nowrap|1=''b''000⋯000 = 0}} is the most 'even.'</ref>
Không cũng thỏa mãn các quy luật được tạo bởi các số chẵn khác. Các quy tắc chẵn lẻ trong số học, như {{nowrap|1=''chẵn'' − ''chẵn'' = ''chẵn''}}, bắt buộc số 0 phải chẵn. Không là [[phần tử đơn vị]] cộng của [[nhóm (toán học)|nhóm]] các số nguyên chẵn, và nó cũng là trường hợp đầu tiên để định nghĩa các [[số tự nhiên]] chẵn khác theo [[đệ quy]]. Các ứng dụng của phép đệ quy này từ [[lý thuyết đồ thị]] tới [[hình học tính toán]] đều dựa vào việc số không là số chẵn. 0 không chỉ chia hết cho 2, nó còn chia hết cho mọi [[lũy thừa của 2]], có liên hệ tới [[hệ nhị phân|hệ số nhị phân]] được máy tính sử dụng. Trong trường hợp này, 0 là số "chẵn nhất" trong tất cả các số chẵn.<ref name="arnold-wong">{{harvnb|Arnold|1919|p=21}} "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; {{harvnb|Wong|1997|p=479}} "Thus, the integer {{nowrap|1=''b''000⋯000 = 0}} is the most 'even.'</ref>


Tính chẵn lẻ của số không có thể gây nhầm lẫn với nhiều người. Trong các thử nghiệm về thời gian phản ứng, hầu hết người tham gia đều xác định số 0 là số chẵn chậm hơn so với các số 2, 4, 6 hoặc 8. Một số học sinh—và giáo viên—nghĩ rằng không là một số lẻ, hoặc vừa chẵn vừa lẻ, hoặc không chẵn cũng không lẻ. Các nhà nghiên cứu [[giáo dục toán học]] cho rằng những hiểu lầm này có thể trở thành những cơ hội học hỏi. Học về các phương trình như {{nowrap|1=0 × 2 = 0}} có thể Researchers in [[mathematics education]] propose that these misconceptions can become learning opportunities. Studying equalities like {{nowrap|1=0 × 2 = 0}} can address students' doubts about calling 0 a [[number]] and using it in [[arithmetic]]. Class discussions can lead students to appreciate the basic principles of mathematical reasoning, such as the importance of definitions. Evaluating the parity of this exceptional number is an early example of a pervasive theme in mathematics: the [[abstraction (mathematics)|abstraction]] of a familiar concept to an unfamiliar setting.
Tính chẵn lẻ của số không có thể gây nhầm lẫn với nhiều người. Trong các thử nghiệm về thời gian phản ứng, hầu hết người tham gia đều xác định số 0 là số chẵn chậm hơn so với các số 2, 4, 6 hoặc 8. Một số học sinh—và giáo viên—nghĩ rằng không là một số lẻ, hoặc vừa chẵn vừa lẻ, hoặc không chẵn cũng không lẻ. Các nhà nghiên cứu [[giáo dục toán học]] cho rằng những hiểu lầm này có thể trở thành những cơ hội để học hỏi. Học về các phương trình như {{nowrap|1=0 × 2 = 0}} có thể chỉ ra những nghi ngờ của học sinh sinh viên về việc gọi 0 là một [[số]] và sử dụng nó trong [[số học]]. Các cuộc bàn luận trong lớp học có thể khiến học sinh tôn trọng các nguyên tắc cơ bản của lập luận toán học, như tầm quan trọng của các định nghĩa. Đánh giá được tính chẵn lẻ của con số đặc biệt này là một ví dụ ban đầu về Evaluating the parity of this exceptional number is an early example of a pervasive theme in mathematics: the [[abstraction (mathematics)|abstraction]] of a familiar concept to an unfamiliar setting.

==Lý do không là số chẵn==
Định nghĩa chuẩn của một "số chẵn" có thể được dùng để [[chứng minh toán học|chứng minh]] trực tiếp rằng không là số chẵn. Một số được gọi là "chẵn" nếu nó là một bội nguyên của 2. Ví dụ, 10 là một số chẵn vì nó bằng {{nowrap|5 × 2}}. Tương tự như vậy, không là một bội nguyên của 2, cụ thể là {{nowrap|0 × 2,}} vì vậy không là số chẵn.<ref>{{harvnb|Penner|1999|p=34}}: [[Bổ đề]] B.2.2, ''The integer 0 is even and is not odd''. Penner uses the mathematical symbol ∃, the [[existential quantifier]], to state the proof: "To see that 0 is even, we must prove that {{nowrap|1=∃''k'' (0 = 2''k''),}} and this follows from the equality {{nowrap|1=0 = 2 ⋅ 0}}."</ref>

Cũng có thể giải thích tại sao không là số chẵn mà không cần các định nghĩa chính xác.<ref>{{harvtxt|Ball|Lewis|Thames|2008|p=15}} discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.</ref> Những lời giải thích sau giải thích tại sao không là số chẵn dựa theo các khái niệm số cơ bản. From this foundation, one can provide a rationale for the definition itself—and its applicability to zero.

===Giải thích cơ bản===
[[File:012345Pairs.svg|thumb|alt=On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red|Hộp chứa 0 vật không có vật đỏ nào dư ra.<ref>Compare {{harvtxt|Lichtenberg|1972|p=535}} Fig. 1</ref>]]
Không là một số, và các số được dùng để [[đếm]]. Cho một tập hợp các đồ vật, một người sẽ sử dụng một số để mô tả số lượng đồ vật trong tập hợp này. Không là phép đếm của ''không có đồ vật''; theo một cách chính xác hơn, nó là số lượng đồ vật trong một [[tập hợp rỗng]]. Khái niệm tính chẵn lẻ được dùng để tạo các nhóm chứa hai đồ vật. Nếu các đồ vật có thể được chia thành các nhóm, mỗi nhóm chứa hai đồ vật, mà không còn vật nào còn sót lại, thì số đồ vật chẵn. Nếu có một vật bị dư ra, thì số đồ vật lẻ. Tập hợp rỗng có thể chia thành không nhóm, mỗi nhóm chứa hai vật, và không còn vật nào còn sót lại sau khi chia, vậy nên không là số chẵn.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."</ref>

Cách giải thích này có thể được minh họa bằng cách vẽ các đồ vật theo cặp. Vì ta khó có thể mô tả được 0 nhóm hai đồ vật, và cũng khó có thể nhấn mạnh được vào sự không tồn tại của một vật còn sót lại, nên ta có thể vẽ các cách chia nhóm của các số khác và so sánh với trường hợp số không. Ví dụ, trong nhóm năm đồ vật, có hai cặp. Quan trọng hơn, có một vật bị dư ra, vậy nên 5 là số lẻ. Trường hợp có bốn vật, không còn vật nào dư ra, vậy nên 4 là số chẵn. Với trường hợp chỉ có một vật, không có cặp nào, và có dư ra một vật, vậy nên 1 là số lẻ. Trong nhóm không đồ vật, không còn vật nào dư ra, vậy nên 0 là số lẻ.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=535–536}} "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."</ref>

Còn có một định nghĩa chắc chắn hơn về tính chẵn: nếu số vật trong một tập hợp có thể được thành hai nhóm, mỗi nhóm có số lượng vật giống nhau, thì số đồ vật chẵn. Định nghĩa này tương đương với định nghĩa đầu. Một lần nữa, ta dễ dàng chứng minh được không là số chẵn vì tập hợp rỗng có thể được chia thành hai nhóm, mỗi nhóm không đồ vật.{{sfn|Dickerson|Pitman|2012|p=191}}

Các con số cũng có thể được minh họa bằng các điểm trên một [[trục số]]. Khi đánh dấu phân biệt các số lẻ và chẵn, ta có thể thấy rõ quy luật của chúng, đặc biệt khi thêm cả các số âm:
[[File:EvenOddNumberLine.svg|center|alt=Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots]]
The even and odd numbers alternate. Starting at any even number, [[counting]] up or down by twos reaches the other even numbers, and there is no reason to skip over zero.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|p=537}}; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."</ref>

Sử dụng [[phép nhân]], tính chẵn lẻ có thể được tiếp cận một cách chính xác hơn bằng các biểu thức số học. Mọi số nguyên đều có thể phân tích theo một trong hai dạng: {{nowrap|(2 × ▢) + 0}} với số chẵn hoặc {{nowrap|(2 × ▢) + 1;}} với số nguyên. Ví dụ, 1 là số lẻ vì {{nowrap|1=1 = (2 × 0) + 1,}} và 0 là số chẵn vì {{nowrap|1=0 = (2 × 0) + 0.}} Making a table of these facts then reinforces the number line picture above.<ref>{{harvnb|Lichtenberg|1972|pp=537–538}} "At a more advanced level ... numbers expressed as {{nowrap|(2 × ▢) + 0}} are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."</ref>

===Định nghĩa tính chẵn lẻ===
The precise [[definition]] of a mathematical term, such as "even" meaning "integer multiple of two", is ultimately a [[convention (norm)|convention]]. Unlike "even", some mathematical terms are purposefully constructed to exclude [[trivial (mathematics)|trivial]] or [[degenerate (mathematics)|degenerate]] cases. [[Prime number]]s are a famous example. Before the 20th century, definitions of primality were inconsistent, and significant mathematicians such as [[Christian Goldbach|Goldbach]], [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]], [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], [[Arthur Cayley|Cayley]], and [[Leopold Kronecker|Kronecker]] wrote that 1 was prime.{{sfn|Caldwell|Xiong|2012|pp=5–6}} The modern definition of "prime number" is "positive integer with exactly 2 [[divisor|factor]]s", so 1 is not prime. This definition can be rationalized by observing that it more naturally suits mathematical theorems that concern the primes. For example, the [[fundamental theorem of arithmetic]] is easier to state when 1 is not considered prime.<ref>{{harvnb|Gowers|2002|p=118}} "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see {{harvtxt|Caldwell|Xiong|2012}}.</ref>

It would be possible to similarly redefine the term "even" in a way that no longer includes zero. However, in this case, the new definition would make it more difficult to state theorems concerning the even numbers. Already the effect can be seen in [[Even number#Arithmetic on even and odd numbers|the algebraic rules governing even and odd numbers]].<ref name="Partee">{{harvnb|Partee|1978|p=xxi}}</ref> The most relevant rules concern [[addition]], [[subtraction]], and [[multiplication]]:
:even ± even = even
:odd ± odd = even
:even × integer = even
Inserting appropriate values into the left sides of these rules, one can produce 0 on the right sides:
:2 − 2 = 0
:−3 + 3 = 0
:4 × 0 = 0

The above rules would therefore be incorrect if zero were not even.<ref name="Partee" /> At best they would have to be modified. For example, one test study guide asserts that even numbers are characterized as integer multiples of two, but zero is "neither even nor odd".<ref name="MarkAlanStewart" /> Accordingly, the guide's rules for even and odd numbers contain exceptions:
:even ± even = even '''(or zero)'''
:odd ± odd = even '''(or zero)'''
:even × '''nonzero''' integer = even<ref name="MarkAlanStewart">{{harvnb|Stewart|2001|p=54}} These rules are given, but they are not quoted verbatim.</ref>

Making an exception for zero in the definition of evenness forces one to make such exceptions in the rules for even numbers. From another perspective, taking the rules obeyed by positive even numbers and requiring that they continue to hold for integers forces the usual definition and the evenness of zero.<ref name="Partee" />

==Tham khảo==

===Ghi chú===
{{Reflist|colwidth=25em}}

===Sách tham khảo===
{{Refbegin|30em}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Ian |year=2001 |title=A First Course in Discrete Mathematics |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-236-0}}
*{{Citation |last1=Anderson |first1=Marlow |first2=Todd |last2=Feil |year=2005 |title=A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields |location=London |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-515-7}}
*{{Citation |last1=Andrews |first1=Edna |year=1990 |title=Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language |location=Durham |publisher=Duke University Press |isbn=0-8223-0959-9}}
*{{Citation |last1=Arnold |first1=C. L. |date=January 1919|title=The Number Zero |journal=The Ohio Educational Monthly |volume=68 |issue=1 |url=https://books.google.com/books?id=v3QbAQAAIAAJ&pg=PA21 |pages=21–22 |accessdate=11 April 2010}}
*{{Citation |last1=Arsham |first1=Hossein |url=http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm |title=Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives |work=The Pantaneto Forum |date=January 2002 |accessdate=24 September 2007 |deadurl=yes |archiveurl=https://web.archive.org/web/20070925163556/http://www.pantaneto.co.uk/issue5/arsham.htm |archivedate=25 September 2007 |df= }}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Heather C. |last2=Hill |first3=Hyman |last3=Bass |year=2005|title=Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide? |journal=American Educator |url=http://deepblue.lib.umich.edu/handle/2027.42/65072 |accessdate=16 September 2007|format=PDF}}
*{{Citation |last1=Ball |first1=Deborah Loewenberg |first2=Jennifer |last2=Lewis |first3=Mark Hoover |last3=Thames |title=Making mathematics work in school |year=2008 |journal=Journal for Research in Mathematics Education |volume=M14 |pages=13–44 and 195–200 |url=http://www-personal.umich.edu/~dball/articles/BallLewisThames08.pdf |accessdate=4 March 2010}}
*{{Citation |last1=Barbeau |first1=Edward Joseph |year=2003 |title=Polynomials |publisher=Springer |isbn=0-387-40627-1}}
*{{Citation |last1=Baroody |first1=Arthur |first2=Ronald |last2=Coslick |title=Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8 |year=1998 |publisher=Lawrence Erlbaum Associates |isbn=0-8058-3105-3}}
*{{Citation |last1=Berlinghoff |first1=William P. |first2=Kerry E. |last2=Grant |first3=Dale |last3=Skrien |year=2001 |title=A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts |edition=5th rev. |publisher=Rowman & Littlefield |isbn=0-7425-0202-3}}
*{{Citation |last1=Border |first1=Kim C. |year=1985 |title=Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38808-2}}
*{{Citation |last1=Brisman |first1=Andrew |title=Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways |publisher=Sterling |year=2004 |isbn=1-4027-1300-2}}
*{{Citation |last1=Bunch |first1=Bryan H. |year=1982 |title=Mathematical Fallacies and Paradoxes |publisher=Van Nostrand Reinhold |isbn=0-442-24905-5}}
*{{Citation |last1=Caldwell |first1=Chris K. |last2=Xiong |first2=Yeng |date=27 December 2012 |title=What is the Smallest Prime? |journal=Journal of Integer Sequences |volume=15 |issue=9 |arxiv=1209.2007 |url=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL15/Caldwell1/cald5.html}}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |date=10 March 2006a|edition=First |page=18 |id={{Factiva|SMHH000020060309e23a00049}}}}
*{{Citation |author=Column 8 readers |title=Column 8 |work=The Sydney Morning Herald |date=16 March 2006b|edition=First |page=20 |id={{Factiva|SMHH000020060315e23g0004z}}}}
*{{Citation |last1=Crumpacker |first1=Bunny |year=2007 |title=Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count |publisher=Macmillan |isbn=0-312-36005-3}}
*{{Citation |last1=Cutler |first1=Thomas J. |title=The Bluejacket's Manual: United States Navy |year=2008 |edition=Centennial |publisher=Naval Institute Press |isbn=1-55750-221-8}}
*{{Citation |last1=Dehaene |first1=Stanislas |author1-link=Stanislas Dehaene |first2=Serge |last2=Bossini |first3=Pascal |last3=Giraux |title=The mental representation of parity and numerical magnitude |journal=Journal of Experimental Psychology: General |volume=122 |issue=3 |pages=371–396 |year=1993 |url=http://www.unicog.org/publications/Dehaene_ParitySNARCeffect_JEPGeneral1993.pdf |accessdate=13 September 2007 |doi=10.1037/0096-3445.122.3.371 |format=PDF}}
*{{Citation |last1=Devlin |first1=Keith |title=The golden age of mathematics |journal=New Scientist |date=April 1985|volume=106 |issue=1452}}
*{{Citation |author=Diagram Group |title=The Official World Encyclopedia of Sports and Games |publisher=Paddington Press |year=1983 |isbn=0-448-22202-7}}
*{{Citation |last=Dickerson |first=David S |last2=Pitman |first2=Damien J |date=July 2012 |title=Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions |editor=Tai-Yih Tso |journal=Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education |volume=2 |pages=187–195 |url=http://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:542328/FULLTEXT01.pdf#page=193}}
*{{Citation |last1=Dummit |first1=David S. |first2=Richard M. |last2=Foote |year=1999 |title=Abstract Algebra |edition=2e |location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-36857-1}}
*{{Citation |author=Educational Testing Service |year=2009 |title=Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test |publisher=Educational Testing Service |url=http://www.ets.org/s/gre/pdf/gre_math_conventions.pdf |accessdate=6 September 2011}}
*{{Citation |last1=Freudenthal |first1=H. |year=1983 |title=Didactical phenomenology of mathematical structures |location=Dordrecht, The Netherlands |publisher=Reidel}}
*{{Citation |last1=Frobisher |first1=Len |year=1999 |title=Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers |editor=Anthony Orton |booktitle=Pattern in the Teaching and Learning of Mathematics |location=London |publisher=Cassell |pages=31–48}}
*{{Citation |last1=Gouvêa |first1=Fernando Quadros|author1-link= Fernando Q. Gouvêa |year=1997 |title=''p''-adic numbers: an introduction |edition=2nd |isbn=3-540-62911-4 |publisher=Springer-Verlag}}
*{{Citation |last1=Gowers |first1=Timothy |authorlink=William Timothy Gowers |title=Mathematics: A Very Short Introduction |publisher=[[Oxford University Press]] |isbn=978-0-19-285361-5 |year=2002}}
*{{Citation |author=Graduate Management Admission Council |date=September 2005|title=The Official Guide for GMAT Review |edition=11th |isbn=0-9765709-0-4 |publisher=Graduate Management Admission Council |location=McLean, VA}}
*{{Citation |last1=Grimes |first1=Joseph E. |year=1975 |title=The Thread of Discourse |publisher=Walter de Gruyter |isbn=90-279-3164-X}}
*{{Citation | last1 = Hartsfield | first1 = Nora | author1-link = Nora Hartsfield | last2 = Ringel | first2 = Gerhard | author2-link = Gerhard Ringel |year=2003 |title=Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction |location=Mineola |publisher=Courier Dover |isbn=0-486-43232-7}}
*{{Citation |last=Hill |first=Heather C. |first2=Merrie L. |last2=Blunk |first3=Charalambos Y. |last3=Charalambous |first4=Jennifer M. |last4=Lewis |first5=Geoffrey C. |last5=Phelps |first6=Laurie |last6=Sleep |first7=Deborah Loewenberg |last7=Ball |year=2008 |title=Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study |journal=Cognition and Instruction |volume=26 |issue=4 |doi=10.1080/07370000802177235 |pages=430–511}}
*{{Citation |last1=Hohmann |first1=George |date=25 October 2007|title=Companies let market determine new name |work=Charleston Daily Mail|page=P1C |id={{Factiva|CGAZ000020071027e3ap0001l}}}}
*{{Citation |author=Kaplan Staff |year=2004 |title=Kaplan SAT 2400, 2005 Edition |publisher=Simon and Schuster |isbn=0-7432-6035-X}}
*{{Citation |last1=Keith |first1=Annie |booktitle=Teachers Engaged in Research: Inquiry in Mathematics Classrooms, Grades Pre-K-2 |title=Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers |year=2006 |publisher=IAP |isbn=1-59311-495-8}}
*{{Citation |last1=Krantz |first1=Steven George |year=2001 |title=Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry |publisher=CRC Press |isbn=1-58488-052-X}}
*{{Citation |last1=Levenson |first1=Esther |first2=Pessia |last2=Tsamir |first3=Dina |last3=Tirosh |title=Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero |volume=26 |issue=2 |year=2007 |pages=83–95 |doi=10.1016/j.jmathb.2007.05.004 |journal=The Journal of Mathematical Behavior}}
*{{Citation |last1=Lichtenberg |first1=Betty Plunkett |title=Zero is an even number |journal=The Arithmetic Teacher |volume=19 |issue=7 |date=November 1972|pages=535–538}}
*{{Citation |last1=Lorentz |first1=Richard J. |year=1994 |title=Recursive Algorithms |publisher=Intellect Books |isbn=1-56750-037-4}}
*{{Citation |last=Lovas |first=William |last2=Pfenning |first2=Frank |date=22 January 2008 |title=A Bidirectional Refinement Type System for LF |journal=Electronic Notes in Theoretical Computer Science |volume=196 |pages=113–128 |doi=10.1016/j.entcs.2007.09.021 |url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S1571066108000418 |accessdate=16 June 2012}}
*{{Citation |last1=Lovász |first1=László|first2=József |last2=Pelikán |first3=Katalin L. |last3=Vesztergombi |year=2003 |title=Discrete Mathematics: Elementary and Beyond |publisher=Springer |isbn=0-387-95585-2}}
*{{Citation |last1=Morgan |first1=Frank |title=Old Coins |work=Frank Morgan's Math Chat |publisher=The Mathematical Association of America |date=5 April 2001 |url=http://www.maa.org/features/mathchat/mathchat_4_5_01.html |accessdate=22 August 2009}}
*{{Citation |last1=Nipkow |first1=Tobias |author1-link=Tobias Nipkow|first2=Lawrence C. |last2=Paulson |author2-link=Lawrence C. Paulson|first3=Markus |last3=Wenzel |year=2002 |title=Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic|publisher=Springer |isbn=3-540-43376-7}}
*{{Citation |last1=Nuerk |first1=Hans-Christoph |first2=Wiebke |last2=Iversen |first3=Klaus |last3=Willmes |title=Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect |journal=The Quarterly Journal of Experimental Psychology A |volume=57 |issue=5 |date=July 2004|pages=835–863 |doi=10.1080/02724980343000512}}
*{{Citation |last1=Partee |first1=Barbara Hall |title=Fundamentals of Mathematics for Linguistics |year=1978 |location=Dordrecht |publisher=D. Reidel |isbn=90-277-0809-6}}
*{{Citation |last1=Penner |first1=Robert C. |year=1999 |title=Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures |location=River Edje |publisher=World Scientific |isbn=981-02-4088-0}}
*{{Citation |last1=Salzmann |first1=H. |first2=T. |last2=Grundhöfer |first3=H. |last3=Hähl |first4=R. |last4=Löwen |year=2007 |title=The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-86516-6}}
*{{Citation |last1=Siegel |first1=Robert |title=Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now. |url=http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=1066881|date=19 November 1999 |work=[[All Things Considered]] |publisher=[[National Public Radio]] }}
*{{Citation |last1=Smock |first1=Doug |title=The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods |date=6 February 2006|work=[[Charleston Gazette]] |page=P1B |id={{Factiva|CGAZ000020060207e226000bh}}}}
*{{Citation |last1=Snow |first1=Tony |date=23 February 2001|url=http://www.jewishworldreview.com/tony/snow022301.asp |title=Bubba's fools |work=[[Jewish World Review]] |accessdate=22 August 2009}}
*{{Citation |last1=Sones |first1=Bill |first2=Rich |last2=Sones |title=To hide your age, button your lips |date=8 May 2002|work=[[Deseret News]] |page=C07 |url=http://www.deseretnews.com/article/912430/To-hide-your-age-button-your-lips.html?pg=all|accessdate=21 June 2014}}
*{{Citation |last1=Starr |first1=Ross M. |authorlink=Ross Starr|year=1997 |title=General Equilibrium Theory: An Introduction |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-56473-5}}
*{{Citation |last1=Steinberg |first1=Neil |title=Even year, odd facts |date=30 November 1999 |work=Chicago Sun-Times |edition=5XS |page=50 |id={{Factiva|chi0000020010826dvbu0119h}}}}
*{{Citation |last1=Stewart |first1=Mark Alan |title=30 Days to the GMAT CAT |year=2001 |location=Stamford |publisher=Thomson |isbn=0-7689-0635-0}}
*{{Citation |last1=Stingl |first1=Jim |title=01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life |date=5 April 2006 |work=[[Milwaukee Journal Sentinel]] |edition=Final |page=B1 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20060427002610/http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306|archivedate=27 April 2006|accessdate=21 June 2014|url=http://www.jsonline.com/story/index.aspx?id=413306}}
*{{Citation |last1=Tabachnikova |first1=Olga M. |first2= Geoff C. |last2=Smith |author2-link=Geoff Smith (mathematician) |year=2000 |title=Topics in Group Theory |location=London |publisher=Springer |isbn=1-85233-235-2}}
*{{Citation |author=The Math Forum participants |year=2000 |url=http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=1178542 |title=A question around zero |work=Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica |publisher=Drexel University |accessdate=25 September 2007}}
*{{Citation |last1=Turner |first1=Julian |title=Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific |date=13 July 1996|work=[[The Guardian]] |page=23 |id={{Factiva|grdn000020011017ds7d00bzg}}}}
*{{Citation |last1=Wilden |first1=Anthony |first2=Rhonda |last2=Hammer |year=1987 |title=The rules are no game: the strategy of communication |publisher=Routledge Kegan & Paul |isbn=0-7100-9868-5}}
*{{Citation |last1=Wise |first1=Stephen |year=2002 |title=GIS Basics |publisher=CRC Press |isbn=0-415-24651-2}}
*{{Citation |last1=Wong |first1=Samuel Shaw Ming |year=1997 |title=Computational Methods in Physics and Engineering |publisher=World Scientific |isbn=981-02-3043-5}}
{{Refend}}

== Liên kết ngoài ==
{{wikiquote}}
{{Refbegin}}
*{{Citation |author=Doctor Rick |year=2001 |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/57188.html |title=Is Zero Even? |work=Ask Dr. Math |publisher=The Math Forum |accessdate=6 June 2013}}
*{{Citation |author=Straight Dope Science Advisory Board |year=1999 |title=Is zero odd or even? |url=http://www.straightdope.com/columns/read/1723/is-zero-odd-or-even |work=The Straight Dope Mailbag |accessdate=6 June 2013}}
*[https://www.youtube.com/watch?v=8t1TC-5OLdM Is Zero Even? - Numberphile], video with Dr. James Grime, [[University of Nottingham]]
{{Refend}}

[[Thể loại:Số học sơ cấp]]
[[Thể loại:Tính chẵn lẻ]]
[[Thể loại:0 (số)]]

Phiên bản lúc 17:03, ngày 3 tháng 2 năm 2018

Cân thăng bằng trống
Hai đĩa cân thăng bằng này chứa không đồ vật, chia ra làm hai nhóm bằng nhau.

Không là một số chẵn. Nói theo cách khác, tính chẵn lẻ của nó—đặc tính của một số nguyên có thể thuộc về một trong hai nhóm: chẵn hoặc lẻ—là lẻ. Cách chứng minh đơn giản nhất là kiểm tra xem liệu 0 có thỏa mãn định nghĩa của "số chẵn" không: nó là một bội số của 2, cụ thể là 0 × 2. Vì vậy, số không có tất cả các tính chất của số chẵn: ví dụ, hai số liền trước và liền sau của 0 đều là các số lẻ, bất cứ số thập phân nguyên nào cũng đều có tính chẵn lẻ giống như chữ số cuối cùng của nó—chính vì vậy, vì 10 là một số chẵn nên 0 cũng sẽ là số chẵn, và nếu y chẵn thì y + x sẽ có tính chẵn lẻ giống x—và x và 0 + x luôn có tính chẵn lẻ giống nhau.

Không cũng thỏa mãn các quy luật được tạo bởi các số chẵn khác. Các quy tắc chẵn lẻ trong số học, như chẵn − chẵn = chẵn, bắt buộc số 0 phải chẵn. Không là phần tử đơn vị cộng của nhóm các số nguyên chẵn, và nó cũng là trường hợp đầu tiên để định nghĩa các số tự nhiên chẵn khác theo đệ quy. Các ứng dụng của phép đệ quy này từ lý thuyết đồ thị tới hình học tính toán đều dựa vào việc số không là số chẵn. 0 không chỉ chia hết cho 2, nó còn chia hết cho mọi lũy thừa của 2, có liên hệ tới hệ số nhị phân được máy tính sử dụng. Trong trường hợp này, 0 là số "chẵn nhất" trong tất cả các số chẵn.[1]

Tính chẵn lẻ của số không có thể gây nhầm lẫn với nhiều người. Trong các thử nghiệm về thời gian phản ứng, hầu hết người tham gia đều xác định số 0 là số chẵn chậm hơn so với các số 2, 4, 6 hoặc 8. Một số học sinh—và giáo viên—nghĩ rằng không là một số lẻ, hoặc vừa chẵn vừa lẻ, hoặc không chẵn cũng không lẻ. Các nhà nghiên cứu giáo dục toán học cho rằng những hiểu lầm này có thể trở thành những cơ hội để học hỏi. Học về các phương trình như 0 × 2 = 0 có thể chỉ ra những nghi ngờ của học sinh sinh viên về việc gọi 0 là một số và sử dụng nó trong số học. Các cuộc bàn luận trong lớp học có thể khiến học sinh tôn trọng các nguyên tắc cơ bản của lập luận toán học, như tầm quan trọng của các định nghĩa. Đánh giá được tính chẵn lẻ của con số đặc biệt này là một ví dụ ban đầu về Evaluating the parity of this exceptional number is an early example of a pervasive theme in mathematics: the abstraction of a familiar concept to an unfamiliar setting.

Lý do không là số chẵn

Định nghĩa chuẩn của một "số chẵn" có thể được dùng để chứng minh trực tiếp rằng không là số chẵn. Một số được gọi là "chẵn" nếu nó là một bội nguyên của 2. Ví dụ, 10 là một số chẵn vì nó bằng 5 × 2. Tương tự như vậy, không là một bội nguyên của 2, cụ thể là 0 × 2, vì vậy không là số chẵn.[2]

Cũng có thể giải thích tại sao không là số chẵn mà không cần các định nghĩa chính xác.[3] Những lời giải thích sau giải thích tại sao không là số chẵn dựa theo các khái niệm số cơ bản. From this foundation, one can provide a rationale for the definition itself—and its applicability to zero.

Giải thích cơ bản

On the left, boxes with 0, 2, and 4 white objects in pairs; on the right, 1, 3, and 5 objects, with the unpaired object in red
Hộp chứa 0 vật không có vật đỏ nào dư ra.[4]

Không là một số, và các số được dùng để đếm. Cho một tập hợp các đồ vật, một người sẽ sử dụng một số để mô tả số lượng đồ vật trong tập hợp này. Không là phép đếm của không có đồ vật; theo một cách chính xác hơn, nó là số lượng đồ vật trong một tập hợp rỗng. Khái niệm tính chẵn lẻ được dùng để tạo các nhóm chứa hai đồ vật. Nếu các đồ vật có thể được chia thành các nhóm, mỗi nhóm chứa hai đồ vật, mà không còn vật nào còn sót lại, thì số đồ vật chẵn. Nếu có một vật bị dư ra, thì số đồ vật lẻ. Tập hợp rỗng có thể chia thành không nhóm, mỗi nhóm chứa hai vật, và không còn vật nào còn sót lại sau khi chia, vậy nên không là số chẵn.[5]

Cách giải thích này có thể được minh họa bằng cách vẽ các đồ vật theo cặp. Vì ta khó có thể mô tả được 0 nhóm hai đồ vật, và cũng khó có thể nhấn mạnh được vào sự không tồn tại của một vật còn sót lại, nên ta có thể vẽ các cách chia nhóm của các số khác và so sánh với trường hợp số không. Ví dụ, trong nhóm năm đồ vật, có hai cặp. Quan trọng hơn, có một vật bị dư ra, vậy nên 5 là số lẻ. Trường hợp có bốn vật, không còn vật nào dư ra, vậy nên 4 là số chẵn. Với trường hợp chỉ có một vật, không có cặp nào, và có dư ra một vật, vậy nên 1 là số lẻ. Trong nhóm không đồ vật, không còn vật nào dư ra, vậy nên 0 là số lẻ.[6]

Còn có một định nghĩa chắc chắn hơn về tính chẵn: nếu số vật trong một tập hợp có thể được thành hai nhóm, mỗi nhóm có số lượng vật giống nhau, thì số đồ vật chẵn. Định nghĩa này tương đương với định nghĩa đầu. Một lần nữa, ta dễ dàng chứng minh được không là số chẵn vì tập hợp rỗng có thể được chia thành hai nhóm, mỗi nhóm không đồ vật.[7]

Các con số cũng có thể được minh họa bằng các điểm trên một trục số. Khi đánh dấu phân biệt các số lẻ và chẵn, ta có thể thấy rõ quy luật của chúng, đặc biệt khi thêm cả các số âm:

Integers −4 through 10; even numbers are open circles; odd numbers are dots

The even and odd numbers alternate. Starting at any even number, counting up or down by twos reaches the other even numbers, and there is no reason to skip over zero.[8]

Sử dụng phép nhân, tính chẵn lẻ có thể được tiếp cận một cách chính xác hơn bằng các biểu thức số học. Mọi số nguyên đều có thể phân tích theo một trong hai dạng: (2 × ▢) + 0 với số chẵn hoặc (2 × ▢) + 1; với số nguyên. Ví dụ, 1 là số lẻ vì 1 = (2 × 0) + 1, và 0 là số chẵn vì 0 = (2 × 0) + 0. Making a table of these facts then reinforces the number line picture above.[9]

Định nghĩa tính chẵn lẻ

The precise definition of a mathematical term, such as "even" meaning "integer multiple of two", is ultimately a convention. Unlike "even", some mathematical terms are purposefully constructed to exclude trivial or degenerate cases. Prime numbers are a famous example. Before the 20th century, definitions of primality were inconsistent, and significant mathematicians such as Goldbach, Lambert, Legendre, Cayley, and Kronecker wrote that 1 was prime.[10] The modern definition of "prime number" is "positive integer with exactly 2 factors", so 1 is not prime. This definition can be rationalized by observing that it more naturally suits mathematical theorems that concern the primes. For example, the fundamental theorem of arithmetic is easier to state when 1 is not considered prime.[11]

It would be possible to similarly redefine the term "even" in a way that no longer includes zero. However, in this case, the new definition would make it more difficult to state theorems concerning the even numbers. Already the effect can be seen in the algebraic rules governing even and odd numbers.[12] The most relevant rules concern addition, subtraction, and multiplication:

even ± even = even
odd ± odd = even
even × integer = even

Inserting appropriate values into the left sides of these rules, one can produce 0 on the right sides:

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

The above rules would therefore be incorrect if zero were not even.[12] At best they would have to be modified. For example, one test study guide asserts that even numbers are characterized as integer multiples of two, but zero is "neither even nor odd".[13] Accordingly, the guide's rules for even and odd numbers contain exceptions:

even ± even = even (or zero)
odd ± odd = even (or zero)
even × nonzero integer = even[13]

Making an exception for zero in the definition of evenness forces one to make such exceptions in the rules for even numbers. From another perspective, taking the rules obeyed by positive even numbers and requiring that they continue to hold for integers forces the usual definition and the evenness of zero.[12]

Tham khảo

Ghi chú

  1. ^ Arnold 1919, tr. 21 "By the same test zero surpasses all numbers in 'evenness.'"; Wong 1997, tr. 479 "Thus, the integer b000⋯000 = 0 is the most 'even.'
  2. ^ Penner 1999, tr. 34: Bổ đề B.2.2, The integer 0 is even and is not odd. Penner uses the mathematical symbol ∃, the existential quantifier, to state the proof: "To see that 0 is even, we must prove that ∃k (0 = 2k), and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0."
  3. ^ Ball, Lewis & Thames (2008, tr. 15) discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.
  4. ^ Compare Lichtenberg (1972, tr. 535) Fig. 1
  5. ^ Lichtenberg 1972, tr. 535–536 "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."
  6. ^ Lichtenberg 1972, tr. 535–536 "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."
  7. ^ Dickerson & Pitman 2012, tr. 191.
  8. ^ Lichtenberg 1972, tr. 537; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."
  9. ^ Lichtenberg 1972, tr. 537–538 "At a more advanced level ... numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."
  10. ^ Caldwell & Xiong 2012, tr. 5–6.
  11. ^ Gowers 2002, tr. 118 "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." For a more detailed discussion, see Caldwell & Xiong (2012).
  12. ^ a b c Partee 1978, tr. xxi
  13. ^ a b Stewart 2001, tr. 54 These rules are given, but they are not quoted verbatim.

Sách tham khảo

  • Anderson, Ian (2001), A First Course in Discrete Mathematics, London: Springer, ISBN 1-85233-236-0
  • Anderson, Marlow; Feil, Todd (2005), A First Course in Abstract Algebra: Rings, Groups, And Fields, London: CRC Press, ISBN 1-58488-515-7
  • Andrews, Edna (1990), Markedness Theory: the union of asymmetry and semiosis in language, Durham: Duke University Press, ISBN 0-8223-0959-9
  • Arnold, C. L. (tháng 1 năm 1919), “The Number Zero”, The Ohio Educational Monthly, 68 (1): 21–22, truy cập ngày 11 tháng 4 năm 2010
  • Arsham, Hossein (tháng 1 năm 2002), “Zero in Four Dimensions: Historical, Psychological, Cultural, and Logical Perspectives”, The Pantaneto Forum, Bản gốc lưu trữ ngày 25 tháng 9 năm 2007, truy cập ngày 24 tháng 9 năm 2007 Đã bỏ qua tham số không rõ |deadurl= (gợi ý |url-status=) (trợ giúp)
  • Ball, Deborah Loewenberg; Hill, Heather C.; Bass, Hyman (2005), “Knowing Mathematics for Teaching: Who Knows Mathematics Well Enough To Teach Third Grade, and How Can We Decide?” (PDF), American Educator, truy cập ngày 16 tháng 9 năm 2007
  • Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer; Thames, Mark Hoover (2008), “Making mathematics work in school” (PDF), Journal for Research in Mathematics Education, M14: 13–44 and 195–200, truy cập ngày 4 tháng 3 năm 2010
  • Barbeau, Edward Joseph (2003), Polynomials, Springer, ISBN 0-387-40627-1
  • Baroody, Arthur; Coslick, Ronald (1998), Fostering Children's Mathematical Power: An Investigative Approach to K-8, Lawrence Erlbaum Associates, ISBN 0-8058-3105-3
  • Berlinghoff, William P.; Grant, Kerry E.; Skrien, Dale (2001), A Mathematics Sampler: Topics for the Liberal Arts (ấn bản 5), Rowman & Littlefield, ISBN 0-7425-0202-3
  • Border, Kim C. (1985), Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory, Cambridge University Press, ISBN 0-521-38808-2
  • Brisman, Andrew (2004), Mensa Guide to Casino Gambling: Winning Ways, Sterling, ISBN 1-4027-1300-2
  • Bunch, Bryan H. (1982), Mathematical Fallacies and Paradoxes, Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-24905-5
  • Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (27 tháng 12 năm 2012), “What is the Smallest Prime?”, Journal of Integer Sequences, 15 (9), arXiv:1209.2007
  • Column 8 readers (9 tháng 3 năm 2006), “Column 8”, The Sydney Morning Herald , tr. 18, Factiva SMHH000020060309e23a00049
  • Column 8 readers (15 tháng 3 năm 2006), “Column 8”, The Sydney Morning Herald , tr. 20, Factiva SMHH000020060315e23g0004z
  • Crumpacker, Bunny (2007), Perfect Figures: The Lore of Numbers and How We Learned to Count, Macmillan, ISBN 0-312-36005-3
  • Cutler, Thomas J. (2008), The Bluejacket's Manual: United States Navy , Naval Institute Press, ISBN 1-55750-221-8
  • Dehaene, Stanislas; Bossini, Serge; Giraux, Pascal (1993), “The mental representation of parity and numerical magnitude” (PDF), Journal of Experimental Psychology: General, 122 (3): 371–396, doi:10.1037/0096-3445.122.3.371, truy cập ngày 13 tháng 9 năm 2007
  • Devlin, Keith (tháng 4 năm 1985), “The golden age of mathematics”, New Scientist, 106 (1452)
  • Diagram Group (1983), The Official World Encyclopedia of Sports and Games, Paddington Press, ISBN 0-448-22202-7
  • Dickerson, David S; Pitman, Damien J (tháng 7 năm 2012), Tai-Yih Tso (biên tập), “Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions” (PDF), Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2: 187–195
  • Dummit, David S.; Foote, Richard M. (1999), Abstract Algebra , New York: Wiley, ISBN 0-471-36857-1
  • Educational Testing Service (2009), Mathematical Conventions for the Quantitative Reasoning Measure of the GRE® revised General Test (PDF), Educational Testing Service, truy cập ngày 6 tháng 9 năm 2011
  • Freudenthal, H. (1983), Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, The Netherlands: Reidel
  • Frobisher, Len (1999), Anthony Orton (biên tập), Primary School Children's Knowledge of Odd and Even Numbers, London: Cassell, tr. 31–48 Đã bỏ qua tham số không rõ |booktitle= (trợ giúp)
  • Gouvêa, Fernando Quadros (1997), p-adic numbers: an introduction (ấn bản 2), Springer-Verlag, ISBN 3-540-62911-4
  • Gowers, Timothy (2002), Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5
  • Graduate Management Admission Council (tháng 9 năm 2005), The Official Guide for GMAT Review (ấn bản 11), McLean, VA: Graduate Management Admission Council, ISBN 0-9765709-0-4
  • Grimes, Joseph E. (1975), The Thread of Discourse, Walter de Gruyter, ISBN 90-279-3164-X
  • Hartsfield, Nora; Ringel, Gerhard (2003), Pearls in Graph Theory: A Comprehensive Introduction, Mineola: Courier Dover, ISBN 0-486-43232-7
  • Hill, Heather C.; Blunk, Merrie L.; Charalambous, Charalambos Y.; Lewis, Jennifer M.; Phelps, Geoffrey C.; Sleep, Laurie; Ball, Deborah Loewenberg (2008), “Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality of Instruction: An Exploratory Study”, Cognition and Instruction, 26 (4): 430–511, doi:10.1080/07370000802177235
  • Hohmann, George (25 tháng 10 năm 2007), “Companies let market determine new name”, Charleston Daily Mail, tr. P1C, Factiva CGAZ000020071027e3ap0001l
  • Kaplan Staff (2004), Kaplan SAT 2400, 2005 Edition, Simon and Schuster, ISBN 0-7432-6035-X
  • Keith, Annie (2006), Mathematical Argument in a Second Grade Class: Generating and Justifying Generalized Statements about Odd and Even Numbers, IAP, ISBN 1-59311-495-8 Đã bỏ qua tham số không rõ |booktitle= (trợ giúp)
  • Krantz, Steven George (2001), Dictionary of algebra, arithmetic, and trigonometry, CRC Press, ISBN 1-58488-052-X
  • Levenson, Esther; Tsamir, Pessia; Tirosh, Dina (2007), “Neither even nor odd: Sixth grade students' dilemmas regarding the parity of zero”, The Journal of Mathematical Behavior, 26 (2): 83–95, doi:10.1016/j.jmathb.2007.05.004
  • Lichtenberg, Betty Plunkett (tháng 11 năm 1972), “Zero is an even number”, The Arithmetic Teacher, 19 (7): 535–538
  • Lorentz, Richard J. (1994), Recursive Algorithms, Intellect Books, ISBN 1-56750-037-4
  • Lovas, William; Pfenning, Frank (22 tháng 1 năm 2008), “A Bidirectional Refinement Type System for LF”, Electronic Notes in Theoretical Computer Science, 196: 113–128, doi:10.1016/j.entcs.2007.09.021, truy cập ngày 16 tháng 6 năm 2012
  • Lovász, László; Pelikán, József; Vesztergombi, Katalin L. (2003), Discrete Mathematics: Elementary and Beyond, Springer, ISBN 0-387-95585-2
  • Morgan, Frank (5 tháng 4 năm 2001), “Old Coins”, Frank Morgan's Math Chat, The Mathematical Association of America, truy cập ngày 22 tháng 8 năm 2009
  • Nipkow, Tobias; Paulson, Lawrence C.; Wenzel, Markus (2002), Isabelle/Hol: A Proof Assistant for Higher-Order Logic, Springer, ISBN 3-540-43376-7
  • Nuerk, Hans-Christoph; Iversen, Wiebke; Willmes, Klaus (tháng 7 năm 2004), “Notational modulation of the SNARC and the MARC (linguistic markedness of response codes) effect”, The Quarterly Journal of Experimental Psychology A, 57 (5): 835–863, doi:10.1080/02724980343000512
  • Partee, Barbara Hall (1978), Fundamentals of Mathematics for Linguistics, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6
  • Penner, Robert C. (1999), Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures, River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0
  • Salzmann, H.; Grundhöfer, T.; Hähl, H.; Löwen, R. (2007), The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86516-6
  • Siegel, Robert (19 tháng 11 năm 1999), “Analysis: Today's date is signified in abbreviations using only odd numbers. 1-1, 1-9, 1-9-9-9. The next time that happens will be more than a thousand years from now.”, All Things Considered, National Public Radio
  • Smock, Doug (6 tháng 2 năm 2006), “The odd bets: Hines Ward vs. Tiger Woods”, Charleston Gazette, tr. P1B, Factiva CGAZ000020060207e226000bh
  • Snow, Tony (23 tháng 2 năm 2001), “Bubba's fools”, Jewish World Review, truy cập ngày 22 tháng 8 năm 2009
  • Sones, Bill; Sones, Rich (8 tháng 5 năm 2002), “To hide your age, button your lips”, Deseret News, tr. C07, truy cập ngày 21 tháng 6 năm 2014
  • Starr, Ross M. (1997), General Equilibrium Theory: An Introduction, Cambridge University Press, ISBN 0-521-56473-5
  • Steinberg, Neil (30 tháng 11 năm 1999), “Even year, odd facts”, Chicago Sun-Times , tr. 50, Factiva chi0000020010826dvbu0119h
  • Stewart, Mark Alan (2001), 30 Days to the GMAT CAT, Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0
  • Stingl, Jim (5 tháng 4 năm 2006), “01:02:03 04/05/06; We can count on some things in life”, Milwaukee Journal Sentinel , tr. B1, Bản gốc lưu trữ ngày 27 tháng 4 năm 2006, truy cập ngày 21 tháng 6 năm 2014
  • Tabachnikova, Olga M.; Smith, Geoff C. (2000), Topics in Group Theory, London: Springer, ISBN 1-85233-235-2
  • The Math Forum participants (2000), “A question around zero”, Math Forum » Discussions » History » Historia-Matematica, Drexel University, truy cập ngày 25 tháng 9 năm 2007
  • Turner, Julian (13 tháng 7 năm 1996), “Sports Betting – For Lytham Look to the South Pacific”, The Guardian, tr. 23, Factiva grdn000020011017ds7d00bzg
  • Wilden, Anthony; Hammer, Rhonda (1987), The rules are no game: the strategy of communication, Routledge Kegan & Paul, ISBN 0-7100-9868-5
  • Wise, Stephen (2002), GIS Basics, CRC Press, ISBN 0-415-24651-2
  • Wong, Samuel Shaw Ming (1997), Computational Methods in Physics and Engineering, World Scientific, ISBN 981-02-3043-5

Liên kết ngoài

Lấy từ “https://vi.wikipedia.org/w/index.php?title=Tính_chẵn_lẻ_của_số_không&oldid=36953411”