Phần tử đơn vị

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Bài này nói về phần tử đơn vị trong toán học, xem thêm nghĩa khác ở phần tử đơn vị (định hướng).

Trong toán học, phần tử đơn vị (hay còn gọi là phần tử trung hòa) là một phần tử đặc biệt của một tập hợp khi nói đến phép toán hai ngôi trên tập hợp đó. Nó không làm thay đổi phần tử còn lại khi thực hiện phép toán với phần tử đó. Khái niệm này được dùng trong lý thuyết nhómmagma (đại số).

Thuật ngữ phần tử đơn vị có thể được gọi ngắn gọn là đơn vị nếu không bị hiểu nhầm.

Cho (S, *) là một tập S cùng với phép toán hai ngôi * trên nó, phần tử e được gọi là

  • đơn vị trái nếu  \forall a \in S, e * a = a
  • đơn vị phải nếu  \forall a \in S, a * e = a
  • đơn vị hai phía (hoặc đơn giản là đơn vị), nếu e vừa là đơn vị trái vừa là đơn vị phải.

Thí dụ[sửa | sửa mã nguồn]

Tập hợp Phép toán đơn vị
số thực + (cộng) 0
số thực • (nhân) 1
ma trận vuông n x n + (cộng) ma trận không
ma trận vuông n x n • (nhân) ma trận đơn vị
Tất cả các hàm từ tập M lên chính nó hàm hợp ánh xạ đồng nhất
Các xâu kí tự phép nối xâu xâu rỗng
Tập có hai phần tử {e, f} * định nghĩa bởi
e * e = f * e = e
f * f = e * f = f
cả hai ef là các đơn vị trái, nhưng không có đơn vị phải hay đơn vị hai phía

Như trong ví dụ dưới cùng, (S,*) có thể có nhiều hơn một đơn vị trái. Thực tế là phần tử nào cũng có thể là đơn vị trái. Tương tự, có thể có nhiều đơn vị phải. Nhưng nếu có một đơn vị trái và một đơn vị phải thì chúng bằng nhau và chỉ có đúng một đơn vị hai phía.

Cụ thể là: nếu l là một đơn vị trái và r là một đơn vị phải thì l = l * r = r. Vậy, không bao giờ có nhiều hơn một đơn vị hai phía.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]