Hàm số

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Mỗi số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y qua hàm f

Số thuộc tập X tương ứng với một số duy nhất thuộc tập Y qua hàm f.

Trong toán học, khái niệm hàm số (hay hàm) được hiểu tương tự như khái niệm ánh xạ. Nếu như ánh xạ được định nghĩa là một quy tắc tương ứng áp dụng lên hai tập hợp bất kỳ (còn được gọi là tập nguồn và tập đích), mà trong đó mỗi phần tử của tập hợp này (tập hợp nguồn) tương ứng với một và chỉ một phần tử thuộc tập hợp kia (tập hợp đích), thì ta hoàn toàn có thể coi hàm số là một trường hợp đặc biệt của ánh xạ, khi tập nguồn và tập đích đều là tập hợp số.

Ví dụ một hàm số f xác định trên tập hợp số thực R được miêu tả bằng biểu thức: y = x2 - 5 sẽ cho tương ứng mỗi số thực x với một số thực y duy nhất nhận giá trị là x2 - 5, như vậy 3 sẽ tương ứng với 4. Khi hàm f đã được xác định, ta có thể viết f(3) = 4.

Đôi khi chữ hàm được dùng như cách gọi tắt thay cho hàm số. Tuy nhiên trong các trường hợp sử dụng khác, hàm mang ý nghĩa tổng quát của ánh xạ, như trong lý thuyết hàm. Các hàm hay ánh xạ tổng quát có thể là liên hệ giữa các tập hợp không phải là tập số. Ví dụ có thể định nghĩa một hàm là quy tắc cho tương ứng mỗi hãng xe với tên quốc gia xuất xứ của nó, chẳng hạn có thể viết Xuất_xứ(Honda) = Nhật.

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ tập số thực R, hàm số f xác định trên X, nhận giá trị trong Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi số x thuộc X với một số y duy nhất thuộc Y.

Ký hiệu[sửa | sửa mã nguồn]

f\colon X\to Y hoặc f\colon x \mapsto f(x) hoặc y = f(x) \,\!

Với:

  • Tập X gọi là miền xác định.
  • Tập Y gọi là miền giá trị.
  • x gọi là biến độc lập hay còn gọi là đối số.
  • y gọi là biến phụ thuộc hay còn được gọi là hàm số.
  • f(x) được gọi là giá trị của hàm f tại x.

Cách cho hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng biểu thức.

Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.

Hàm f: X \to Y được cho bảng sau:

x 1 2 3 4 5
y 5 5 6 7 8

Các hàm cho bằng biểu thức như y = 2x+3, y=x^2, y= \sin x...

Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:

  • Khi không nói rõ thêm, miền xác định (tập xác định) của hàm số cho bằng biểu thức y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x làm cho f(x) có nghĩa.
Ví dụ: Hàm số  y ={\log}_2 x có miền xác định là \{ x \in \mathbb R |x>0\}
Hàm số  y =\sqrt{(x-1)(3-x)}[1;3]
  • Miền giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị có thể có của f(x), nghĩa là f(X).
Ví dụ: Miền giá trị của hàm số y= \sqrt {x(5-x)}[0;5].
  • Nếu X,Y \subset \mathbb R thì hàm số được gọi là hàm số thực
Ví dụ: Hàm lượng giác y = \sin x,hàm mũ y= 2^x,...
  • Nếu X,Y \subset \mathbb C thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức.
Ví dụ: Hàm dao động y = \cos \varphi + i\;\sin \varphi;
  • Nếu X \subset \mathbb N thì hàm số được gọi là hàm số số học.
Ví dụ: Hàm Euler \phi (n) biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma \sigma (n) biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n...

Các dạng của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Đơn ánh, song ánh, toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.

Đơn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.

Một cách chặt chẽ, hàm f, xác định trên X và nhận giá trị trong Y, là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi x1x2 thuộc X và nếu x1x2 thì f(x1) ≠ f(x2).

Nghĩa là, hàm số f là đơn ánh khi và chỉ khi:

\forall x_1, x_2 \in \mathit{X}\,\!; x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)

Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm

Toàn ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm số f được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số y thuộc Y ta luôn tìm được ít nhất một số x thuộc X sao cho f(x) = y. Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử y thuộc Y đều là tạo ảnh của ít nhất một mẫu x thuộc X qua ánh xạ f.

Nghĩa là, hàm số f là toàn ánh khi và chỉ khi:

\forall y \in Y, \exists x \in X: f(x) = y cũng tức là \mathit{f(X)= Y}\,\!

Đồ thị hàm y = f(x)\, cắt đường thẳng y = y_0 \forall y_0

Song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh được gọi là song ánh.

Minh hoạ[sửa | sửa mã nguồn]

Don anh.png Toan anh.png Song anh.png
Đơn ánh nhưng
không phải toàn ánh
Toàn ánh nhưng
không phải đơn ánh
Vừa đơn ánh
vừa toàn ánh
(= song ánh)

Hàm hợp và hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Hàm hợp[sửa | sửa mã nguồn]

Cho các hàm số:

f_1 \colon X\to Y
f_2 \colon Y\to Z

trong đó X, Y, Z là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của f1f2 là hàm số:

f \colon X\to Z

được định nghĩa bởi:

\mathit{f(x) = f_2(f_1(x)); x} \in X

Có thể ký hiệu hàm hợp là:

f=f_2\circ f_1

Ví dụ, hàm số f(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp f2(f1(x)), trong đó f2(y) = sin(y), f1(x) = (x2 +1).

Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.

Hàm ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hàm số song ánh:

f \colon X\to Y

trong đó X, Y là tập hợp số nói chung. Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y nằm trong Y đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong X. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong Y với một phần tử x trong X. Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ Y sang X, hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số f và được kí hiệu là:

 f ^{-1} \colon y\mapsto x = f ^{-1}(y)

Nếu f−1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f−1(x) và ngược lại.

Đồ thị của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát y = f(x) nào đó, ví dụ như y = x2 - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng x với y của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số x và các giá trị hàm số y tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng đồ thị của nó.

Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng R2 có tọa độ [x, f(x)].

Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là:

 graph f \equiv \begin{Bmatrix}(x,y) \in R^2 \mid y = f(x)\end{Bmatrix}

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ánh xạ
  • Hàm số đơn điệu

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

  • The Wolfram Functions Site
  • Theory of Functions and related areas
  • Notes on functions