Ánh xạ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. Hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5m/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.

Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp XY thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử y \in Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, đặc biệt là lý thuyết xác suất, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y.

Bài này chỉ viết về các ánh xạ (hàm) đơn trị.

Các thuật ngữ[sửa | sửa mã nguồn]

Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa:

Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu f:X \to Y) là một quy tắc cho mỗi phần tử x \in X tương ứng với một phần tử xác định y \in Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y=f(x).
nghĩa là \forall x \in X, \exists !y \in Y, y= f(x)
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.
Với mỗi y \in Y, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, kí hiệu là f^{-1}(y)
f^{-1}(y)=\{x\in X | f(x)=y \}
Với mỗi tập con A \subset X, tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của x \in A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A kí hiệu là f(A)
f(A)= \{f(x) | x \in A \}
Với mỗi tập con B \subset Y, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh  f(x) \in B được gọi là tạo ảnh của tập B kí hiệu là f^{-1}(B)
f^{-1}(B) = \{x \in X | f(x)\in B\}

Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa:

Một ánh xạ \mathcal F từ tập X vào tập Y là một quan hệ \mathcal F từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử x \in X đều có quan hệ \mathcal F với một và chỉ một phần tử y \in Y.
Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ \mathcal F, kí hiêu \mathcal F.

Vài tính chất cơ bản[sửa | sửa mã nguồn]

A = \empty \Leftrightarrow f(A)= \empty
  • Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
 A \subset B \Rightarrow f(A) \subset f(B)
  • Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)
  • Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh
f(A) \cup f(B) = f(A \cup B)

Toàn ánh, đơn ánh và song ánh[sửa | sửa mã nguồn]

Anh xa.JPG
  • Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y
f(X)=Y
hay
\forall y\in Y, \exists x \in X: f(x) = y
  • Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y.Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.
\forall x_1,x_2 \in X: x_1\ne x_2 \Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)
hay
\forall x_1,x_2 \in X: f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 =x_2
  • Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).

Một số ánh xạ đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

  • Ánh xạ không đổi (ánh xạ hằng): là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x \in X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y_0 \in Y.
  • Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
  • Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con X \subset Y vào Y cho f(x)= x với mọi x \in X. Khi đó ta ký hiệu f: X \hookrightarrow Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu f: X \to Y là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con f(X) \subset Y, f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con f(X) \subset Y bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123

Ánh xạ tích và ánh xạ ngược[sửa | sửa mã nguồn]

Cho hai ánh xạ f: X \to Yg : Y \to Z. Tích của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là g\circ f là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức:
(g\circ f)(x)=g (f(x))
  • Một số tính chất của ánh xạ tích
Nếu (g\circ f) là đơn ánh thì f là đơn ánh.
Nếu (g\circ f) là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Nếu (g\circ f) là song ánh thì f và g đều là song ánh.
Cho ánh xạ f:X \to Y, nếu có ánh xạ g: Y \to X sao cho
\forall x \in X: (g\circ f)(x) =x
\forall y \in Y: (f\circ g)(y) =y
thì g được gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, kí hiệu là f^{-1}.
Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.

Các khái niệm ánh xạ khác (dịch từ tiếng anh)[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê