Ma trận (toán học)

Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột.

Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tính và biến đổi tuyến tính.

Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...

Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều.

Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma trận hai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các mảng nhiều chiều.

Mô tả

Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng ma trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phần tử. Ma trận thường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vuông "[" và "]" (hoặc, hiếm hơn, dấu ngoặc "(" và ")"). Thí dụ:

$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$

Ma trận thường được dùng để mô ta không gian trạng thái trong điều khiển tự động.

Các loại ma trận đặc biệt

Ma trận tam giác

Ma trận tam giác là ma trận vuông được chia thành hai loại là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới.

Ma trận tam giác trên khi các phần tử nằm phía dưới hạng tử có giá trị = 0, aij=0 với mọi i>j.
Ma trận tam giác dưới khi các phần tử nằm phía trên hạng tử có giá trị bằng không, aij=0 với mọi i<j.

Ma trận chéo

Ma trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính thì đều bằng 0, nghĩa là $a_{i,j}$=0 với mọi i ≠ j.

Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường thì là số 0).

$\begin{cases} {a_{i,j}=1, i=j}\\ {a_{i,j}=0}, &i \neq j \end{cases}$

Thí dụ:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

gfh

Ma trận đối xứng

       A=[aij]mxn
       A được gọi là đối xứng khi và chỉ khi aij=aji với mọi i,j

$\begin{bmatrix} 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}$

Tức là: : $A^T = A$

Ma trận phản đối xứng

$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -2 \\ 3 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 0 \end{bmatrix}$

Tức là: : $A^T = -A$

Ma trận ba đường chéo

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$

Là ma trận mà các phần tử nằm ngoài ba đường chéo đều bằng 0.

Ma trận sơ cấp

Một ma trận sơ cấp hàng nhận được khi ta thực hiện một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột) của một ma trận đơn vị I. Kí hiệu là: E

• Ma trận sơ cấp E₁ nhận được khi ta nhân một số α khác 0 vào một hàng của ma trận đơn vị I.
  E₁ =

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \alpha & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}$

• Ma trận sơ cấp E₂ nhận được khi ta nhân cộng vào hàng j với hàng i đã được nhân với một số β khác 0 đối với ma trận đơn vị I.
  E₂ =

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \beta & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}$

• Ma trận sơ cấp E₃ nhận được khi ta đổi vị trí hàng j với hàng i của ma trận đơn vị cho nhau.
  E₃ =

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & 1 & ... & 0 \\ 0 & 1 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}$

Các phép toán đại số trên ma trận

Phép cộng ma trận

Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước $m$ x $n$. Cho các ma trận cấp $m$ x $n$ $A$ và $B$, tổng $A+B$ là ma trận cùng cấp $m$ x $n$ nhận được do cộng các phần tử tương ứng (nghĩa là $A+B= (a_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n} + (b_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n} = (a_{i,j}+b_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n}$ ). Chẳng hạn:

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

Phép nhân ma trận với một số

Cho ma trận $A$ và số $c$, tích $cA$ được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của $A$ với số $c$ (nghĩa là $(cA)_{i,j} = c \cdot a_{i,j}$ ). Chẳng hạn:

$2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

Phép nhân ma trận

Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận $A$ có kích thước $m$ x $n$ và ma trận $B$ có kích thước $n$ x $p$, thì ma trận tích $AB$ có kích thước $m$ x$p$ có phần tử đứng ở hàng thứ i, cột thứ j xác định bởi:

$c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \ldots + a_{i,n} b_{n,j}$

với mọi cặp $(i,j)$=1..m; j =1..p.

Chẳng hạn:

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Phép nhân ma trận có các tính chất sau:

• $(AB)C=A(BC)$ với mọi ma trận cấp $k$ x$m$ $A$, ma trận $m$ x $n$ $B$ và ma trận $n$ x$p$ $C$ ("kết hợp").
• $(A+B)C = AC+BC$ với mọi ma trận cấp $m$ x$n$ các ma trận $A$ và $B$ và ma trận cấp $n$ x $k$ $C$ ("phân phối bên phải").
• $C(A+B)=CA+CB$ ("phân phối bên trái").

Cần chú ý rằng phép nhân ma trận không giao hoán.

Các chủ đề chính liên quan đến ma trận

• Giá trị riêng
• Ma trận số nguyên
• Nhóm ma trận
• Phân loại ma trận
• Phân tích ma trận
• Định thức
• Các phép toán trên ma trận
  • Phép cộng 2 ma trận
  • Phép nhân một số cho ma trận
  • Ma trận chuyển vị
  • Chuyển vị của tích hai ma trận
  • Phép nhân 2 ma trận
  • Nghịch đảo của một ma trận
  • Phép chia của 2 ma trận

Lịch sử

Ma trận đã được nghiên cứu từ xa xưa. Thời tiền sử đã có khái niệm hình vuông Latin và hình vuông kì diệu.

Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết về định thức từ năm 1693. Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, với Quy tắc Cramer năm 1750. Carl Friedrich Gauss và Wilhelm Jordan đã phát triển phép khử Gauss vào những năm 1800.

Từ "ma trận" (trong tiếng Anh là matrix) được dùng chính thức lần đầu vào năm 1848 bởi J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg Frobenius và John von Neumann là một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận.