Ma trận (toán học)

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, một ma trận là bảng chữ nhật chứa dữ liệu (thường là số thực hoặc số phức, nhưng có thể là bất kỳ dữ liệu gì) theo hàng và cột.

Trong đại số tuyến tính, ma trận dùng để lưu trữ các hệ số của hệ phương trình tuyến tínhbiến đổi tuyến tính.

Trong lý thuyết đồ thị, ma trận thường dùng để biểu diễn đồ thị (ví dụ: ma trận kề), lưu trữ trọng số cho đồ thị có trọng số...

Trong lập trình, ma trận thường được lưu trữ bằng các mảng hai chiều.

Ma trận thông dụng nhất là ma trận hai chiều. Tổng quát hóa của khái niệm ma trận hai chiều là ma trận khối. Trong lập trình, ma trận khối được lưu trữ bằng các mảng nhiều chiều.

Lịch sử[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận đã được nghiên cứu từ xa xưa. Thời tiền sử đã có khái niệm hình vuông Latinhình vuông kì diệu.

Lịch sử hiện đại của ma trận gắn liền với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Gottfried Leibniz đã phát triển lý thuyết về định thức từ năm 1693. Gabriel Cramer tiếp nối sự nghiệp, với Quy tắc Cramer năm 1750. Carl Friedrich GaussWilhelm Jordan đã phát triển phép khử Gauss vào những năm 1800.

Từ "ma trận" (trong tiếng Anhmatrix) được dùng chính thức lần đầu vào năm 1848 bởi J. J. Sylvester. George Cayley, William Rowan Hamilton, Hermann Grassmann, Ferdinand Georg FrobeniusJohn von Neumann là một vài trong số những tên tuổi gắn liền với sự phát triển của lý thuyết ma trận.

Mô tả[sửa | sửa mã nguồn]

Các dòng ngang của ma trận gọi là hàng và các cột thẳng đứng là cột. Hình dạng ma trận được đặc trưng bởi số hàng và số cột (kích thước ma trận). k phần tử. Ma trận thường được viết thành bảng kẹp giữa 2 dấu ngoặc vuông "[" và "]" (hoặc, hiếm hơn, dấu ngoặc "(" và ")"). Thí dụ:


A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{bmatrix}

Ma trận thường được dùng để mô ta không gian trạng thái trong điều khiển tự động.

Các loại ma trận đặc biệt[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận kề[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

Giả sử G = (V, E) là một đơn đồ thị có n đỉnh. Khi đó ta có thể biểu diễn đồ thị bằng một ma trận vuông A = [aij] cấp n.[1] Trong đó:

aij = 1 nếu (i, j) ∈ E

aij = 0 nếu (i, j) ∉ E

• Quy ước aii = 0 với ∀i;

Tính chất:

- Nếu nửa tam giác trên và nửa tam giác dưới đối xứng nhau qua đường chéo chính => là đồ thị vô hướng. Ngược lại nếu có một phần tử không giống nhau => ma trận có hướng.

- Nếu G là đồ thị vô hướng thì bậc của đỉnh i bằng tổng phần tử khác 0 trên hàng i

- Nếu G là đồ thị có hướng thì nửa bậc ngoài của đỉnh i bằng tổng các phần tử khác 0 trên dòng i và nửa bậc trong của đỉnh i bằng

tổng các phần tử khác 0 trên cột i

Ưu điểm và nhược điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Ưu điểm:

• Đơn giản, dễ biểu diễn.

• Nhìn vào ma trận ta biết được 2 đỉnh nào kề nhau.

• Biết được bậc của từng đỉnh nếu là đồ thị đơn.

Nhược điểm:

• Không biểu diễn được những cạnh song song.

Minh họa[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận kề vô hướng
Ma trận kề có hướng

Ma trận trọng số[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

- Cho G = (V,E) là đơn đồ thị có trọng số. Ma trận trọng số của G là một ma trận vuông A = (aij) cấp n. [2] Trong đó:

aij = w(i,j) nếu (i, j) ∈ E

aij = 0 nếu (i, j) ∉ E

• Quy ước aii = 0 với ∀i;

Ưu điểm và nhược điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Ưu điểm:

• Đồ thị có khuyên vẫn biểu diễn được.

Nhược điểm:

. Đồ thị có cạnh song song không biểu diễn được.

Minh họa[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận trọng số vô hướng
Ma trận trọng số có hướng

Ma trận liên thuộc[sửa | sửa mã nguồn]

Khái niệm[sửa | sửa mã nguồn]

- Giả sử G=(V,E) là một đồ thị vô hướng với các đỉnh v1, v2,..vn và các cạnh là e1, e2,.. em. Khi đó ma trận liên thuộc M=[mij] kích thước n x m trong đó:

mij = 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi

mij = l nếu cạnh ej nối với đỉnh vi

- Nếu G là đồ thị có hướng. Khi đó ma trận liên thuộc M=[mij] kích thước n x m trong đó:

mij = 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi

mij = l nếu cạnh ej đi ra khỏi đỉnh vi

mij = -l nếu cạnh ej đi vào đỉnh vi

Ưu điểm và nhược điểm[sửa | sửa mã nguồn]

Ưu điểm:

• Nhìn vào ma trận ta biết được số lượng cạnh, số lượng đỉnh, bậc trong và bậc ngoải của đỉnh đó.

• Biết được hướng của 1 cạnh xuất phát từ đỉnh nào đi tới đỉnh nào.

Nhược điểm:

• Biểu diễn phức tạp nếu đồ thị có số lượng cạnh nhiều => khó biểu diễn.

Minh họa[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận liên thuộc vô hướng
Ma trận liên thuộc có hướng

Ma trận tam giác[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận tam giác là ma trận vuông được chia thành hai loại là ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới. Ma trận tam giác trên khi các phần tử nằm phía dưới hạng tử có giá trị = 0, aij=0 với mọi i>j. Ma trận tam giác dưới khi các phần tử nằm phía trên hạng tử có giá trị bằng không, aij=0 với mọi i<j.

Ma trận chéo[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận chéo là ma trận vuông trong đó tất cả các phần tử không nằm trên đường chéo chính thì đều bằng 0, nghĩa là a_{i,j}=0 với mọi i ≠ j.

Ma trận đơn vị[sửa | sửa mã nguồn]

Ma trận đơn vị trên một vành nào đó, là ma trận vuông, có các phần tử nằm trên một đường chéo mang giá trị là đơn vị nhân của vành đó (nếu là vành số thông thường thì là số 1), tất cả các phần tử còn lại mang giá trị trung hòa (nếu là vành số thông thường thì là số 0).


\begin{cases} {a_{i,j}=1, i=j}\\ 
{a_{i,j}=0}, &i \neq j \end{cases}

Thí dụ:


\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}

Ma trận đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]

      A=[aij]mxn
      A được gọi là đối xứng khi và chỉ khi aij=aji với mọi i,j

 \begin{bmatrix}
   2 & 3 & 2 \\
   3 & 1 & 4 \\
   2 & 4 & 2
 \end{bmatrix}

Tức là::  A^T = A

Ma trận phản đối xứng[sửa | sửa mã nguồn]


 \begin{bmatrix}
   0 & -3 & -2 \\
   3 & 0 & -4 \\
   2 & 4 & 0
 \end{bmatrix}

Tức là::  A^T = -A

Ma trận ba đường chéo[sửa | sửa mã nguồn]


 \begin{bmatrix}
   1 & 3 & 0 & 0 \\
   1 & 2 & 1 & 0 \\
   0 & 2 & 2 & 1 \\
   0 & 0 & 3 & 2
 \end{bmatrix}

Là ma trận mà các phần tử nằm ngoài ba đường chéo đều bằng 0.

Ma trận sơ cấp[sửa | sửa mã nguồn]

Một ma trận sơ cấp hàng nhận được khi ta thực hiện một phép biến đổi sơ cấp đối với hàng (cột) của một ma trận đơn vị I. Kí hiệu là: E

  • Ma trận sơ cấp E1 nhận được khi ta nhân một số α khác 0 vào một hàng của ma trận đơn vị I.
    E1 =

 \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 &... & 0 \\
   0 & \alpha & 0 &... & 0 \\
   0 & 0 & 1 &... & 0 \\
... &... &... &... &... \\
   0 & 0 & 0 &... & 1
 \end{bmatrix}
  • Ma trận sơ cấp E2 nhận được khi ta nhân cộng vào hàng j với hàng i đã được nhân với một số β khác 0 đối với ma trận đơn vị I.
    E2 =

 \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 &... & 0 \\
   0 & 1 & 0 &... & 0 \\
   0 & \beta & 1 &... & 0 \\
... &... &... &... &... \\
   0 & 0 & 0 &... & 1
 \end{bmatrix}
  • Ma trận sơ cấp E3 nhận được khi ta đổi vị trí hàng j với hàng i của ma trận đơn vị cho nhau.
    E3 =

 \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 &... & 0 \\
   0 & 0 & 1 &... & 0 \\
   0 & 1 & 0 &... & 0 \\
... &... &... &... &... \\
   0 & 0 & 0 &... & 1
 \end{bmatrix}

Các phép toán đại số trên ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Phép cộng ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x n AB, tổng A+B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng (nghĩa là A+B= (a_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n} + (b_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n} = (a_{i,j}+b_{i,j})_{1\le i \le m; 1\le j \le n}). Chẳng hạn:

Không thể phân tích cú pháp (lỗi chính tả): \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} === Phép nhân ma trận với một số === Cho ma trận <math>A
và số c, tích  cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với số c (nghĩa là (cA)_{i,j} = c \cdot a_{i,j}). Chẳng hạn:
2 \cdot
 \begin{bmatrix}
   1 & 8 & -3 \\
   4 & -2 & 5
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
   2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
   2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
 \end{bmatrix}
=
 \begin{bmatrix}
   2 & 16 & -6 \\
   8 & -4 & 10
 \end{bmatrix}

Phép nhân ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích thước n x p, thì ma trận tích AB có kích thước m xp có phần tử đứng ở hàng thứ i, cột thứ j xác định bởi:


   c_{i,j} = a_{i,1} b_{1,j} + a_{i,2} b_{2,j} + \ldots + a_{i,n}  b_{n,j}

với mọi cặp (i,j)=1..m; j =1..p.

Chẳng hạn:


   \begin{bmatrix}
       1 & 0 & 2 \\
      -1 & 3 & 1 \\
   \end{bmatrix}
\times
   \begin{bmatrix}
       3 & 1 \\
       2 & 1 \\
       1 & 0 \\
   \end{bmatrix}
=
   \begin{bmatrix}

       (1 \times 3  +  0 \times 2  +  2 \times 1)
     & (1 \times 1  +  0 \times 1  +  2 \times 0) \\

       (-1 \times 3  +  3 \times 2  +  1 \times 1)
     & (-1 \times 1  +  3 \times 1  +  1 \times 0) \\

   \end{bmatrix}

=
   \begin{bmatrix}
       5 & 1 \\
       4 & 2 \\
   \end{bmatrix}

Phép nhân ma trận có các tính chất sau:

  • (AB)C=A(BC) với mọi ma trận cấp k xm A, ma trận m x n B và ma trận n xp C ("kết hợp").
  • (A+B)C = AC+BC với mọi ma trận cấp m xn các ma trận AB và ma trận cấp n x k C ("phân phối bên phải").
  • C(A+B)=CA+CB ("phân phối bên trái").

Cần chú ý rằng phép nhân ma trận không giao hoán.

Các chủ đề chính liên quan đến ma trận[sửa | sửa mã nguồn]

Chú thích[sửa | sửa mã nguồn]

  1. ^ C.Berge (1967). Theorie des Graphes et ses Applications. Dunod Paris. 
  2. ^ R.Diestel (2000). Graph Theory. Springer-Verlag. 

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]

Các chủ đề chính trong toán học
Nền tảng toán học | Đại số | Giải tích | Hình học | Lý thuyết số | Toán học rời rạc | Toán học ứng dụng |
Toán học giải trí | Toán học tô pô | Xác suất thống kê