Tích vectơ

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Minh họa kết quả phép nhân vectơ trong hệ tọa độ bên phải

Trong toán học, phép tích vectơ hay nhân vectơ hay tích có hướng là một phép toán nhị nguyên trên các vectơ trong không gian vectơ ba chiều. Nó là một trong hai phép nhân thường gặp giữa các vectơ (phép toán kia là nhân vô hướng). Nó khác nhân vô hướng ở chỗ là kết quả thu được là một giả vectơ thay cho một vô hướng. Kết quả này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ đầu vào của phép nhân.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Xác định hướng của tích vectơ bằng Quy tắc bàn tay phải.

Phép nhân vectơ của vectơ ab được ký hiệu là a × b, định nghĩa bởi:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf\hat{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

với θ là góc giữa ab (0° ≤ θ ≤ 180°) nằm trên mặt phẳng chứa ab, và nvectơ đơn vị vuông góc với ab.

Thực tế có hai vectơ n thỏa mãn điều kiện vuông góc với ab (khi a không song song b), vì nếu n vuông góc với ab thì -n cũng vậy.

Việc chọn hướng của véctơ n phụ thuộc vào hệ tọa độ tuân theo quy tắc bàn tay trái hay quy tắc bàn tay phải. (a, b, a × b) tuân cùng quy tắc với hệ tọa độ đang sử dụng để xác định các vectơ.

Vì kết quả phụ thuộc vào quy ước hệ tọa độ, nó được gọi là giả vectơ. May mắn là trong các hiện tượng tự nhiên, nhân vectơ luôn đi theo cặp đối chiều nhau, nên kết quả cuối cùng không phụ thuộc lựa chọn hệ tọa độ.

Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Ý nghĩa hình học[sửa | sửa mã nguồn]

Chiều dài vectơ kết quả, |a × b|, có thể được coi bằng diện tich của hình bình hành có cạnh ab.

 V = |\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})|.

Tính chất đại số[sửa | sửa mã nguồn]

Phép tính này phản giao hoán:

a × b = -b × a,

phân phối được trên phép cộng vectơ:

a × (b + c) = a × b + a × c

Nó kết hợp được với nhân vô hướng:

(r.a) × b = a × (r.b) = r.(a × b).

với "." chỉ nhân vô hướng.

Nó không có tính kết hợp,

(a × b) × c\neqa × (b × c)

(Ví dụ: khi a song song với b vế trái bằng 0 trong khi về phải (nói chung) khác không.)

Nó thỏa mãn đẳng thức Jacobi:

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0.

Các tính chất trên cho thấy không gian vectơ ba chiều với phép nhân vec tơ tạo thành một đại số Lie.

Hai vectơ khác không ab song song khi và chỉ khi a × b = 0.

Ứng dụng[sửa | sửa mã nguồn]

Nhiều công thức tính trong không gian vectơ ba chiều liên quan đến nhân vectơ, nhờ vào kết quả là vectơ vuông góc với hai vectơ đầu vào. Phép tính này xuất hiện ở công thức tính lực Lorentz do một trường điện từ tác động lên một điện tích. Công thức tính mômen lực hay mômen động lượng cũng liên quan đến nhân vectơ.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa | sửa mã nguồn]

(bằng tiếng Anh)