Tích vô hướng

Tích vô hướng là khái niệm trang bị cho một không gian vectơ H trên trường K (K là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert. Đó là một hàm 2 biến (x,y)--> <x,y> từ HxH --> K thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1. $\langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle}$,

2. $\langle x+y,z\rangle = \langle x , z \rangle + \langle y,z \rangle$,

3. $\langle\lambda x, y \rangle = \lambda \langle x,y \rangle$,

4. $\langle x,x \rangle \ge 0;\ \langle x,x \rangle = 0$ khi và chỉ khi $x = 0$,

với mọi $x,\ y,\ x\in H,\ \lambda \in K$

Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng.

Nếu không gian vectơ H được trang bị bởi một tích vô hướng trên đó thì nó trở thành không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi công thức

$\|x\| =\sqrt {\langle x,x\rangle},\ \forall x\in H$