Tích vô hướng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Tích vô hướng là khái niệm trang bị cho một không gian vectơ H trên trường K (K là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert. Đó là một hàm 2 biến (x,y)--> <x,y> từ HxH --> K thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1.  \langle x,y\rangle = \overline{\langle y,x\rangle},

2. \langle x+y,z\rangle = \langle x, z \rangle + \langle y,z \rangle ,

3. \langle\lambda x, y \rangle  = \lambda \langle x,y \rangle,

4. \langle x,x \rangle  = |x|;\ \langle x,x \rangle = 0 khi và chỉ khi  x = 0.

với mọi  x,\ y\in H,\ \lambda \in K

Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng.

Nếu không gian vectơ H được trang bị bởi một tích vô hướng trên đó thì nó trở thành không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi công thức

 \|x\| =\sqrt {\langle x,x\rangle},\ \forall x\in H

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]