Tích vô hướng

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Tích vô hướng là khái niệm trang bị cho một không gian vectơ H trên trường K (K là trường số phức hay số thực) để có thể biến nó thành một không gian Hilbert. Đó là một hàm 2 biến f : (\vec x,\vec y) \to \left \langle \vec x,\vec y \right \rangle \mbox{and } K \to H\times H thỏa mãn 4 tiên đề sau:

1.  \langle \vec x,\vec y \rangle = \overline{\langle \vec y,\vec x\rangle},

2. \langle \vec x+\vec y,\vec z\rangle = \langle \vec x, \vec z \rangle + \langle \vec y,\vec z \rangle ,

3. \langle\varphi \vec x, \vec y \rangle  = \varphi \langle \vec x,\vec y \rangle,

4. \langle x,x \rangle  = |x|;\ \langle x,x \rangle = 0 khi và chỉ khi  \vec x = \vec 0.

với mọi  \vec x,\vec y \in H,\ \varphi \in K

Đây là tiên đề hóa để xây dựng khái niệm tích vô hướng từ một số tính chất cơ bản của tích vô hướng thông thường của 2 vectơ hình học trong mặt phẳng (hay không gian) nhằm mô tả khái niệm góc (trực giao) của 2 vectơ trong một không gian vectơ trừu tượng.

Nếu không gian vectơ H được trang bị bởi một tích vô hướng trên đó thì nó trở thành không gian định chuẩn với chuẩn được cho bởi công thức

 \|\vec x\| =\sqrt {\langle \vec x,\vec x\rangle},\ \forall \vec x \in H

Tham khảo[sửa | sửa mã nguồn]