Khoảng cách Euclid

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm

Trong toán học, khoảng cách Euclidkhoảng cách "thường" giữa hai điểm mà người ta có thể đo được bằng cây thước, và được tính bằng công thức Pytago. Với việc sử dụng công thức này để tính khoảng cách, không gian Euclid (hay thậm chí là bất kỳ không gian tích vô hướng nào) sẽ trở thành không gian mêtric. Dạng chuẩn gắn liền với không gian này được gọi là Dạng chuẩn Euclid. Những sách cũ gọi mêtric này là mêtric Pytago.

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Khoảng cách Euclid giữa hai điểm pq là chiều dài đoạn thẳng \overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}. Trong hệ tọa độ Descartes, nếu p = (p1p2,..., pn) và q = (q1q2,..., qn) là hai điểm trong không gian Euclid n chiều, thì khoảng cách từ p đến q bằng:

\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + \cdots + (p_n-q_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (p_i-q_i)^2}.

Dạng chuẩn Euclid là khoảng cách của một điểm đến điểm gốc trong không gian Euclid:

\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}

trong đó phương trình sau cùng là tích vô hướng. Đây là chiều dài của p, khi ta xem nó là một Véc-tơ Euclid có gốc nằm ở gốc tọa độ. Khoảng cách khi đó bằng \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{(\mathbf{p}-\mathbf{q})\cdot(\mathbf{p}-\mathbf{q})} = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.

Xem thêm[sửa | sửa mã nguồn]